ガンマ関数（３）

確率論

「ガンマ関数（２）」の式(10)

  • \Bigint_0^{\infty}\exp(-t^2)dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}・・・・(10)

の証明は確率・統計の教科書や物理学の教科書によく載っていますが、ここにも書いておきます。以下がその証明です。


まず

  • \Bigint_0^{\infty}\exp(-t^2)dt=I・・・・(12)

と置きます。すると

  • I^2=\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2)dx\cdot\Bigint_0^{\infty}\exp(-y^2)dy=\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^-y^2)dxdy・・・・(13)

ここで(x,y)を直交座標と考え、これを下図のように

  • 図１

極座標(r,\theta)に置換えます。すると

  • x^2+y^2=r^2・・・・(14)

になります。またrの積分の範囲は0から\inftyまで、\thetaの積分の範囲は0から\pi/2までになります。またdxdyは

  • 図２

から考察すると

  • dxdy=rdrd\theta・・・・(15)

になります。式(13)(14)(15)から

  • I^2=\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)rdrd\theta

よって

  • I^2=\frac{\pi}{2}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)rdr・・・・(16)

ここで式(16)の右辺の積分は

  • \Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)rdr=\frac{1}{2}\left[-\exp(-r^2)\right]_0^{\infty}=\frac{1}{2}\cdot(-0+1)=\frac{1}{2}

となるので式(16)は

  • I^2=\frac{\pi}{4}

よって式(10)

  • \Bigint_0^{\infty}\exp(-t^2)dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}・・・・(10)

が成り立ちます。