バーコフの個別エルゴード定理　記述１ - 工場統計力学（建設中！）

「バーコフの個別エルゴード定理」の続きです。まず記述１について考えてみます。

【記述１】
集合 $E$ を考える。 $E$ の測度は１とし、かつ $E$ は保測変換 $T$ によって $E$ それ自身に変換されるものとする。 $E$ 上で定義された複素数値関数 $f(x)$ を考える。 $f(x)$ は $x$ に関し可測であるとする。

$\Bigint_E|f(x)|dx<\infty$

であるとする。ここで

$f_N(x)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(T^nx)$

と定義する。

バーコフの個別エルゴード定理
測度0であるような $x$ の集合を除いては

$f^*(x)=\lim_{N\rightar\infty}f_N(x)$

が存在する。

でした。集合 $E$ については、記述３に
$\Bigint_0^1f(x)dx$
と出てくるので、これは０から１までの区間と考えればよいと思います。保測変換とは測度を保存する変換です。ここで点 $x$ は無限の過去から無限の未来にかけて定義される確率過程のある１つの実現値（値というか１つの関数）を表しています。これを $g(x,t)$ と表すことにします。変換 $T$ は、 $g(x,t)$ を時間 $\tau$ だけズラした関数を表すような点 $x'$ に点 $x$ を対応させるような変換です。つまり

$g(x,t+\tau)=g(x',t)$

となるような $x$ から $x'$ への変換です。これが保測変換であるということは、時刻 $t$ で定義された任意の確率の値が時刻 $t+\tau$ でも同じ値をとる、ということを意味しています。 $2t$ 後の点は $TTx=T^2x$ で表され、 $3t$ 後、 $4t$ 後・・・・の点は、それぞれ $T^3x$ 、 $T^4x$ ・・・・で表されます。もう少し数学的に記述すると

$f(x)=g(x,0)$

であり、

$g(x,t+\tau)=g(Tx,t)$

なので

$f(Tx)=g(Tx,0)=g(x,\tau)$
$f(T^2x)=g(Tx,\tau)=g(x,\tau+\tau)=g(x,2\tau)$
$f(T^3x)=g(Tx,2\tau)=g(x,2\tau+\tau)=g(x,3\tau)$

・・・・・・・・・・・・・・
となります。すると、

$f_N(x)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(T^nx)$

というのは

$f_N(x)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(T^nx)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Ng(x,nt)$

となり、

$f^*(x)=\lim_{N\rightar\infty}f_N(x)$

は、時間 $t$ 間隔で測定した $f(x)$ の値の（無限）時間平均を表しています。バーコフの定理は測度０であるような $x$ の集合を除いては上記 $f^*(x)$ が存在することを主張しています。バーコフの定理の証明には測度論の理解が必要だということだそうです。私は測度論を理解していませんので、定理の証明をだいたいでも示すことが出来ません。それにしても、これが「平均値が存在する」ということを主張する定理だと分かったので、数学的センスの少ない私にはそれが異様に思えます。「えっ！　平均が存在しないことがあるの？」と逆に思ってしまいます。
「バーコフの個別エルゴード定理　記述２」に続きます。