バーコフの個別エルゴード定理 - 工場統計力学（建設中！）

「サイバネティックス　第２章「群と統計力学」から（１）」から「（３）」までの引用から、変換 $T$ を用いた時のバーコフの定理の記述を再構成します。

記述１

集合 $E$ を考える。 $E$ の測度は１とし、かつ $E$ は保測変換 $T$ によって $E$ それ自身に変換されるものとする。 $E$ 上で定義された複素数値関数 $f(x)$ を考える。 $f(x)$ は $x$ に関し可測であるとする。

$\Bigint_E|f(x)|dx<\infty$

であるとする。ここで

$f_N(x)=\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(T^nx)$

と定義する。

バーコフの個別エルゴード定理
測度0であるような $x$ の集合を除いては

$f^*(x)=\lim_{N\rightar\infty}f_N(x)$

が存在する。

記述２

次に測度可遷的の意味を定義する。

「測度可遷的」とは、変換 $T$ が、 $E$ 内の測度が0でも1でもないような点 $x$ の任意の集合を不変にしない場合をいう。

記述３

変換 $T$ が測度可遷的であれば、 $f^*(x)$ がある範囲の値をとるような $x$ の集合の測度は、ほとんど常に1か0となる。
これは $f^*(x)$ がほとんど常に一定でなければ不可能なことである。
したがって $f^*(x)$ がほとんど常にとる値は、
$\Bigint_0^1f(x)dx$
となる。よって、測度0の $x$ の値の集合を除いて、
$\lim_{N\rightar\inft}\frac{1}{N+1}\Bigsum_{n=0}^Nf(T^nx)=\Bigint_0^1f(x)dx$
を得る。

「バーコフの個別エルゴード定理　記述１」に続きます。