バーコフの個別エルゴード定理　記述２（その２）

「バーコフの個別エルゴード定理　記述２」では有限集合を取り上げて「測度可遷的」の意味を検討しました。しかし、これは本来、無限集合を対象とするものです。そこでは要素の数を測度とすることは問題があります。それに集合の要素の個数は無限ですから、変換を繰り返しても「 $E$ 内の全ての要素をたどって最後に元の要素に戻る」ということはあり得ないでしょう。
例えば、集合 $E$ を $E=\{x|0{\le}x{\le}1,x{\in}\R\}$ と考えます。そしてこんな変換 $T_0$ を考えます。

$x{\rightar}\frac{x}{2}$

この変換は $x=0$ の点以外の任意の点を不動にしません。 $x=0$ の点の測度は０ですから、測度が０でない任意の集合を不変にしないことが分かります。しかし、この変換を繰り返していっても「集合 $E$ のあらゆる場所（の近傍）を通過する」とは言えません。例えば、最初 $x=0.8$ であるとして変換 $T_0$ を繰り返すと、

0.8, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025・・・・・

となり、例えば点0.9の近くをこの系列は通りません。これでは

時間平均＝集合平均

にはなりそうにないです。この変換のどこがマズかったかというと、この変換 $T_0$ は測度を保存していないのでした。この場合の測度は（拡張された）長さです。 $E$ 内の任意の線分を考え、その線分の中の点の全てに変換 $T_0$ をほどこすと、元の線分の１／２の長さの線分が出来ることは明らかです。つまり変換の前後で線の長さが保存されていませんので、これは保測変換ではなかったのです。

次に、[tex:0

$x+a{\le}1$ ならば、 $x{\rightar}x+a$
$x+a>1$ ならば、 $x{\rightar}x+a-1$

という変換 $T_1$ を考えます。これならば長さは保存されます。たとえば、 $a=0.1$ とします。線分[0.1,0.6]は長さ0.5ですが変換後は[0.2,0.7]ですのでやはり長さは0.5になります。線分[0.7,1]は長さ0.3ですが変換後は２つの線分[0,0.1]、[0.8,1]になります。両方の線分の長さの和は0.3になり、やはり長さは保存されます。
しかし、 $a=0.1$ では変換 $T_1$ は「測度可遷的」になりません。例えば、集合として
[0,0.05]、[0.1,0.15]、[0.2,0.25]、[0.3,0.35]、[0.4,0.45]、[0.5,0.55]、[0.6,0.65]、[0.7,0.75]、[0.8,0.85]、[0.9,0.95]、
の和集合を考えます。するとこの集合は上記の変換 $T_1$ で自分自身に変換されます。

この集合の測度は0.05×10=0.5であり、０ではありません。よって測度が０でも１でもない集合を不変にしているので「測度可遷的」ではありません。では、 $a$ がいくつであれば変換は「測度可遷的」になるのでしょうか？
「バーコフの個別エルゴード定理　記述２（その３）」に続きます。