バーコフの個別エルゴード定理　記述２（その３）

「バーコフの個別エルゴード定理　記述２（その２）」では、 $a=0.1$ としたところ「測度可遷的」にはなりませんでした。反省してみるに、 $0.1$ という整数倍すれば１になるような数を採用したことがマズかった、と思い当たりました。そこで今度は $a=0.3$ にしてみることにしました。これならば、１を０．３で割っても割り切れません。
ところが $a=0.3$ としても「バーコフの個別エルゴード定理　記述２（その２）」で考えた集合はこの変換 $T_1$ によって不変になってしまいます。

そこで、また反省しました。 $a$ の値として有理数を採用すると、それは $m/n$ （ $m$ 、 $n$ はともに整数、の形に書き表せます。すると、 $1/n$ 間隔で並んだ点はこの変換で互に変換されることが分かります。よって、０から $1/n$ 毎に点をとり、それらを始点とする長さ $1/2n$ の線分を $n$ 個作ると、これらの線分を構成する点は変換 $T_1$ によって必ずこれらの線分を構成するどれか別の点に変換されます。これらの線分からなる点集合の測度は $1/2n{\times}n=1/2$ ですので、変換 $T_1$ は測度が０でも１でもないような点 $x$ のある集合を不変することになります。つまり、「測度可遷的」ではないことになります。