プル生産システムのモデル化を目指して（８）

「プル生産システムのモデル化を目指して（７）」の続きです。

それでは、もし、最後の装置４だけがボトルネックであって、他の３台の装置の処理時間が若干短かったら、プルによるスループット増大の効果はどの程度になるか調べてみましょう。このためには、以下の計算を繰り返し行ないます。（これが平均値解析法です。）

平均値解析法

ステーション $i$ の平均処理時間を $t_{ei}$ とします。
ライン全体のＷＩＰが $w$ の時のステーション $i$ のサイクルタイムを $CT_i(w)$ とし、ステーション $i$ のＷＩＰを $WIP_i(w)$ とし、利用率を $u_i(w)$ とします。
さらにラインのスループット（これは個々のステーションのスループットに等しいのですが）を $TH(w)$ とします。また、ライン全体のサイクルタイムを $CT(w)$ とします。明らかに、

$CT(w)=\Bigsum_{i=1}^4CT_i(w)$ ・・・・・（１）

です。

ライン全体のＷＩＰが $w$ であるとして、ステーション $i$ にジョブが到着した時のＷＩＰは到着定理から $WIP_i(w-1)$ 。また、利用率は $u_i(w-1)$ 。よって、今処理中のジョブの数の平均は $u_i(w-1)$ 個。よって、今待っているジョブの数の平均は $WIP_i(w-1)-u_i(w-1)$ 個。今処理中のジョブが処理を終了するまでにかかる時間の平均は（指数分布の記憶なし特性から） $t_{ei}$ 。また、待っているジョブ１個の平均処理時間も $t_{ei}$ 。よって、到着したジョブの待ち時間は、

$(WIP_i(w-1)-u_i(w-1))t_{ei}+u_i(w-1)t_{ei}=WIP_i(w-1)t_{ei}$

また、到着したジョブの平均処理時間も $t_{ei}$ だから

$CT_i(w)=(WIP_i(w-1)+1)t_{ei}$ ・・・・・（２）

となります。式（２）と（１）から $CT(w)$ を求めることが出来ます。 $CT(w)$ が分かれば、リトルの法則からスループット

$TH(w)=\frac{w}{CT(w)}$ ・・・・・（３）

が求まります。この $TH(w)$ を使って個々のステーションにリトルの法則を適用すると、個々の
ステーションのＷＩＰ

$WIP_i(w)=CT_i(w)TH(w)$ ・・・・・（４）

が求まります。今度はこの $WIP_i(w)$ を用いて式（２）に戻れば、結局 $WIP_i(w+1)$ を求めることが出来ます。
最初に $WIP_i(0)=0$ とおいて（１）〜（４）を繰り返し適用していけば、任意の $w$ についての $CT_i(w)$ と $CT(w)$ と $WIP_i(w)$ と $TH(w)$ を求めることが出来ます。

なお、利用率 $u_i(w)$ は

$u_i(w)=TH(w)t_{ei}$ ・・・・・（５）

で求めることが出来ます。また、ライン全体のＷＩＰが $w$ の場合の、X-Factoer　 $x(w)$ は

$x(w)=\frac{CT(w)}{\Bigsum_{i=4}^4t_{ei}}$ ・・・・・（６）

で求めることが出来ます。

$t_{e1}=t_{e2}=t_{e3}=0.8$ 、 $t_{e4}=1$ の時の $u$ − $x$ 関係を以上のようにして求めたグラフを以下に示します。ただし、今回は式（５）にありますように、装置によって $u$ の値が異なりますので、ここではボトルネック・ステーションの $u$ で代表させました。

このグラフには比較のためにプッシュの場合の $u$ − $x$ 関係も載せました。

「プル生産システムのモデル化を目指して（９）」に続きます。