Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（５）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

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2.　期待待ち時間
ここでは（定常状態でのサービス開始までの）期待待ち時間に注目する。いくつかの記法を導入し（セクション２．１）、期待待ち時間 $EW$ を４つの他の平均値に関連付ける（セクション２．２）。古典的なＭ／Ｍ／ｍモデルを考察し（セクション２．３）Sakasegawa (1977)とHalfinとWhitt (1981)の近似公式を紹介し、重負荷近似を検討し（セクション２．４）、Ｄ／Ｍ／ｍモデルとＭ／Ｄ／ｍモデルのCosmetatos (1975)の近似を検討する（セクション２．５）。最後に、一般のＧＩ／Ｇ／ｍモデルの近似を開発し（セクション２．６）数値比較を行う（セクション２．７）。

2.1.　基本的な記法
　慣例に従って、 $M$ 、 $D$ 、 $E_k$ 、 $H_k$ 、 $G$ が各々、指数、決定論的、 $k$ 次のアーラン、超指数（ $k$ 個の指数の混合）、一般の分布を示すものとする。ＧＩ／Ｇ／ｍモデルにおける到着間隔時間とサービス時間についてこれらの分布を考慮する。常にこのモデルは平衡状態に、つまり定常状態にあると見なす。
　 $W$ はサービスを開始するまでの待ち時間を表すとし $EW$ はその期待値であるとする。 $EW(M/H_2/m)$ は $M/H_2/m$ モデルにおける $EW$ を示す。トラフィック密度を通常通り $\rho=\lambda\tau/m$ で定義する。システムが安定するように $\rho<1$ を仮定する（待ち時間の系列について正しい定常状態分布が存在する）。 $\tau=1$ で $\lambda=m\rho$ であるとの理解のもとに $EW(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ が４パラメータ $(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ の関数としての $EW$ を表すものとする。

$EW(\lambda,c_a^2,\tau,c_s^2,m)=\tau{EW}(\lambda\tau,c_a^2,1,c_s^2,m)$

がこれらのパラメータを持つ任意のＧＩ／Ｇ／ｍモデルについて正確な関係であるので、パラメータを５つから４つに減らし $EW(\rho,c_a^^2,c_s^2,m)$ を考察することは十分である。
　ここでの近似は全て基本４つ組 $(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ に依存する。若干の場合余分な情報が非常に役立つことがある。例えば、Whitt (1984a, 1984b, 1989)は $m=1$ の時、到着間隔時間の３次モーメントが $EW$ の近似をどのように向上させるかを示している。我々はここでは一貫して基本４つ組 $(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ のみを考察する。