Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（６）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

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2.2.　関係する混雑尺度
　期待待ち時間のほかに、他の４つの関係する平均値も考察する。 $Q$ を（到着の瞬間ではなくて）任意の時刻の待ち行列長（待っている客の数。サービス中の客は数えない）とし、 $B$ を任意の時刻でのビジーなサーバの数であるとし、 $N$ を任意の時刻でのシステム内の客の数であるとし、 $T$ を客の滞在時間（待ち時間プラスサービス時間）であるとする。明らかに $N=B+Q$ であり $T=W+V$ である。ただし $V$ はサービス時間である。よって

$EN=EB+EQ$

$ET=EW+\tau$ ・・・・(2.1)

また、リトルの法則［（異なる記法で）関係 $L=\lambda{W}$ 、HeymanとSobel (1982, セクション11.3)、Franken, Koenig, Arndt, Schmidt (1981, 第４章)、Whitt (1991)］から

$EB=m\rho=\lambda\tau$

$EQ=\lambda{EW}$

$EN=\lambda{ET}$ ・・・・(2.2)

　 $GI/G/m$ モデルの独立性の仮定がなかったとしても、(2.1)と(2.2)内の全ての公式は正確である。その結果、複雑なオープン待ち行列ネットワーク・モデルにおいて、これらの関係はいかなる仮定もなしで有効である。特に $\rho$ と $EB$ は到着レートとサービスレートにのみ依存するので、もしこれらが分かっているならば、(2.2)における $\rho$ と $EB$ は正確である。 $EB$ は(2.1)によってしばしば $EN$ の大きな部分なので、 $EQ$ の任意の適切な近似はしばしば $EN$ の非常に近い近似をもたらす。
　例１　上記の(2.1)と(2.2)の正確な関係式の威力を示すために、我々は $\rho=0.90$ である $E_4/M/20$ モデル内の $EN$ （システム内の客の期待数）に興味があるとしよう。表５から我々は $EQ$ の正確な値は2.55であるのを見るが、以前のQNA近似（Whitt 1983a, セクション5.2）と新しい近似はそれぞれ3.10と2.67である。よって $EQ$ について、相対誤差パーセンテージ（100×｜正確−近似｜／正確）はそれぞれ21.6%と4.7%である。（この比較は我々の新しい近似から得られるものを示している。）　しかし我々は $EB$ を正確に知っている。(2.2)により $EB=m\rho=18$ 。よって、 $EN$ の正確な値は20.55であり、一方、近似値は21.10と20,67である。 $EN$ について２つの近似の相対誤差パーセンテージはよってそれぞれ2.7%と0.6%である。 $EN$ についての両方の近似は、主に(2.1)と(2.2)の正確な関係式によって、非常に近い。
　 $\lambda$ 、 $\tau$ 、 $m$ を与えると $EW$ 、 $EN$ 、 $EQ$ 、 $ET$ の４つ全てを求めるのに、(2.1)と(2.2)に従って４つのどれか一つを決定すれば充分である。よって私は $EW$ についての近似を開発し、次に(2.1)と(2.2)を適用して $EQ$ 、 $EN$ 、 $ET$ の近似を求める。我々は $EQ$ と $EW$ の近似値を正確な値と比較する。そこでは１つの近似だけが必要である。例１は $EN$ と $ET$ の対応する近似の相対精度は必然的によりよく、しばしば相当によいことを示している。