Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（７）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

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2.3.M/M/mモデル
　私の近似を構築するために $M/M/m$ モデルについてのよく知られた正確な値を用いる（HalfinとWhitt 1981, セクション１）。アーラン待ち公式、すなわちアーランＣ公式はここでの主要な量であり、全てのサーバがビジーである確率を与える。

$P(B=m)=P(N{\ge}m)=[(m\rho)^m/m !(1-\rho)]\zeta$ ・・・・(2.3)

ただし

$\zeta=\left[(m\rho)^m/(m !(1-\rho))+\Bigsum_{k=0}^{m-1}(m\rho)^k/k !\right]^{-1}$ ・・・・(2.4)

到着過程はポアソンなので（Wolf 1982）、 $M/M/m$ モデルにおいて $P(W>0)=P(N{\ge}m)$ 。この関係は全ての $M/G/m$ モデルでも成り立つが、他の $GI/G/m$ モデルでは成り立たない。というのは $N$ は任意の時刻でのシステム内平衡個数（連続時間過程に関する定常状態分布）であるが、 $W$ は客が到着した瞬間における待ち時間であるからである。Seelen、Tijims、van Hoor (1985)は彼らの表の中で多くの $GI/G/m$ モデルについて $P(W>0)$ と $P(N{\ge}m)$ の差を示している。

$EQ=P(N{\ge}m)\rho/(1-\rho)$ ・・・・(2.5)

［HalfinとWhitt 1981, (1.8)］なので　アーランＣ公式(2.3)は $M/M/m$ モデル内の期待待ち行列長について意味を持つ。(2.2)と(2.5)から

$EW=\tau{P}(N{\ge}m)/m(1-\rho)$ ・・・・(2.6)

を得る。
　公式(2.5)と(2.6)は $EQ$ と $EW$ を２つの部分に分解するのが自然であることを示している。

$EQ=P(N{\ge}m)E(Q|N{\ge}m)$ ・・・・(2.7)

$EW=P(W>0)E(W|W>0)$ ・・・・(2.8)

ただし

$E(Q|N{\ge}m)=\frac{\rho}{1-\rho}$

$E(W|W>0)=\frac{E(Q|B{\ge}m)}{\lambda}=\frac{\tau}{m(1-\rho)}$ ・・・・(2.9)

$m$ が大きくなるとしばしば $P(N{\ge}m)=P(W>0)$ が小さくなるので、(2.7)と(2.8)の両方の部分に注目するのは有用である。これは $GI/G/m$ 定常状態の振舞を正しく理解するのに重要である。
　私は $GI/G/m$ における $EW$ の近似を $M/M/m$ モデルのアーランＣ公式(2.3)の正確な値とともに(2.6)を用いて構築する。［(2.3)の正確な計算には注意を要する。］　しかし若干の応用において $EW$ を近似するには、アーランＣ公式の閉形式近似式が便利であろう。HalfinとWhitt (1981)はアーランＣ公式の閉形式近似を開発した。それは

$P(N{\ge}m)\approx\xi\equiv\xi(\beta)=[1+\sqrt{2\pi}\beta\Phi(\beta)\exp(\beta^2/2)]^{-1}$ ・・・・(2.10)

である。ただし $\beta=(1-\rho)m^{1/2}$ であり $\Phi(t)$ は平均０、分散１を持つ標準正規分布の累積分布関数（CDF *1 ）である。HalfinとWhitt (1981) 定理１は(2.10)が重負荷のあるケースで、特に $\rho\rightar{1}$ かつ $m\rightar\infty$ で $(1-\rho)m^{1/2}\rightar\beta$ の時に、漸近的に正しいことを証明した。実際、近似(2.10)は広範囲の $m$ と $\rho$ でうまくいく（表１３と表１．これは正確な関係式(2.2)と(2.5)と組み合わせると $EQ$ の近似をもたらす）。しかし、近似の精度は $\beta$ を固定して $m$ を増加させるにつれて、あるいは $(1-\rho)m^{1/2}$ が増加するにつれて悪くなる傾向がある。

*1:Cumulative Distribution Function