【論文翻訳】M/D/c待ち行列の新しい結果と古い結果（７）

3.1. 状態確率
　定常状態確率は $j=$ 0, 1,…, $N+c$ について $p_j^{(N)}$ で示される。無限のキャパシティ（ $N=\infty$ ）を持つ対応するM/D/c待ち行列における定常確率を $p_j^{(\infty)}$ と書くことは便利である。単一サーバの場合（ $c=1$ ）について $p_j^{(N)}$ の正確な計算のための２つの方法がある。[5]のセクション9.8を参照。最初の方法は再帰形式、 $0{\le}j{\le}N$ について
$p_j^{(N)}=\lambda{a}_{j-1}p_0^{(N)}+\lambda\Bigsum_{k=1}^ja_{j-k}p_k^{(n)}$
と $p_{N+1}^{(N)}=\rho{p}_0^{(N)}-(1-\rho)\Bigsum_{k=1}^Np_k^{(N)}$ を用いることである。ただし $a_n=\frac{1}{\lambda}\left(1-\Bigsum_{k=0}^ne^{-\lambda{D}}(\lambda{D})^k/k!\right)$ である。再帰は $\bar{p}_0^{(N)}:=1$ から始め、その後確率は正規化される。再帰形式は $\rho{\ge}1$ の場合にも同様に適用される。また $p_j^{(N)}$ についての閉形式公式はこの再帰関係から導出出来る（[10]参照）が、再帰形式は計算作業により適している。 $c=1$ の場合の $p_j^{(N)}$ の計算のためのもうひとつの正確な方法は比例関係
$p_j^{(N)}=\gamma{p}_j^{(\infty)}$ 、　　　 $j=$ 0, 1,…, $N$
を $p_{N+1}^{(N)}=1-\Bigsum_{j=0}^Np_j^{(N)}$ と一緒に用いることである。ただし比例定数 $\gamma=\left[1-\rho\left(1-\Bigsum_{j=0}^Np_j^{(\infty)}\right)\right]^{-1}$ である。２番目の方法は $\rho<1$ の時のみ適用出来る。
複数サーバの場合、上記の２つの方法の改造が近似法として使用出来る。最初の方法は再帰
$p_j^{\rm{app1}}=\frac{(c\rho)^j}{j!}p_0^{\rm{app1}}$ , $0{\le}j{\le}c-1$
$p_j^{\rm{app1}}=\lambda{p}_{c-1}^{\rm{app1}}a_{j-c}L\lambda\Bigsum_{k=c}^jp_k^{\rm{app1}}b_{j-k}$ ,　　　　 [tex:c{\le}j