リトルの法則の証明 - 工場統計力学（建設中！）

の証明は、サイクルタイムとスループットが一定値の場合（すなわち変動がない場合）であれば、直感的に分かります。

あるラインを考えます。このラインでのジョブのサイクルタイム（ＣＴ）は１０日、そしてそのスループット（ＴＨ）は２日で１ジョブ、すなわち１／２（ジョブ／日）であるとします。この時の各ジョブがラインに滞在する様子を横軸を時間にして下の図のように表しました。図中の空色のひとマスが１日を表しています。

この図ではＷＩＰは図を縦に見た時のジョブ数になります。この図からＷＩＰがＣＴ＊ＴＨ＝１０＊１／２＝５（ジョブ）になるのは直感的に分かると思います。しかし、サイクルタイムやスループットが一定ではない場合は証明が少し難しくなります。

まず、時刻０から時刻までの、のべＷＩＰ数
- $\Bigint_0^tWIP(\tau)d\tau$
を考えます。ここに $WIP(\tau)$ は時刻 $\tau$ の時のＷＩＰ数を表す関数とします。すると上記の積分は下図のオレンジ色で示した部分の面積を表していることになります。

- この図でジョブ $J_5$ よりあとに到着したジョブ $J_6$ が $J_5$ より先に終わっているのに注意して下さい。サイクルタイム（ $CT$ ）に変動があるために、このようなケースもあり得ることをこの図で考慮しています。

次に時刻０から時刻 $t$ までに到着したジョブのサイクルタイムの合計を考えます。この例の場合、時刻０から時刻 $t$ までに到着したジョブは $J_1$ 〜 $J_7$ です。よって、それらのジョブのサイクルタイムの合計は、下図のオレンジ色の部分の面積になります。

さらに時刻０から時刻 $t$ までに完了してラインから出ていったジョブのサイクルタイムの合計を考えます。この例の場合、時刻０から時刻 $t$ までに到着したジョブは $J_1$ 〜 $J_4$ と $J_6$ です。よって、それらのジョブのサイクルタイムの合計は、下図のオレンジ色の部分の面積になります。

この３つの図を比べると、
- （ $t$ までに完了したジョブの $CT$ の合計）≦ $\Bigint_0^tWIP(\tau)d\tau$ ≦（ $t$ までに到着したジョブの $CT$ の合計）
が成り立つことが分かります。この式をで割ると
- $\frac{1}{t}$ ×（ $t$ までに完了したジョブの $CT$ の合計）≦ $\frac{1}{t}\times{\Bigint_0^tWIP(\tau)d\tau}$ ≦ $\frac{1}{t}$ ×（ $t$ までに到着したジョブの $CT$ の合計）
となります。ここでとすると
- $\frac{1}{t}$ ×（ $t$ までに完了したジョブの $CT$ の合計）＝完了数／ $t$ ×（ $t$ までに完了したジョブの $CT$ の合計）／完了数→平均スループット×平均ＣＴ
- $\frac{1}{t}\times{\Bigint_0^tWIP(\tau)d\tau}$ →平均ＷＩＰ
- $\frac{1}{t}$ ×（ $t$ までに到着したジョブの $CT$ の合計）＝到着数／ $t$ ×（ $t$ までに到着したジョブの $CT$ の合計）／到着数→平均スループット×平均ＣＴ
となり、その結果
- 平均スループット×平均ＣＴ≦平均ＷＩＰ≦平均スループット×平均ＣＴ
となるので
- 平均スループット×平均ＣＴ＝平均ＷＩＰ
となります。これでリトルの法則の証明が出来ました。
- $t\rightar\infty$ で、完了数／ $t$ も、到着数／ $t$ も、平均スループットに収束するところがミソですね。