エルゴード性とは？（５）

「エルゴード性とは？（４）」の続きです。
「エルゴード性とは？（４）」でマルコフチェーンの例を示して、この例の場合、現在の状態が０であろうと１であろうと、充分先の未来の状態の発生確率は一定になることを示しました。そこでこの０と１の列のエルゴード性を証明するために私は最初、次のように考えました。

• 

上のグラフを見ると１５回ぐらい繰り返すと状態０の発生確率が１／３、状態１の発生確率が２／３に近くなり定常状態になる。だから、これ以降は、サイコロを振っているのと同じ状態（例えば、サイコロの目が１か２ならば状態０、サイコロの目が３、４、５、６なら状態１と考える）になるので、「エルゴード性とは？（１）」で考えたサイコロの目をそのまま記録するやり方と本質的に変わらない。だからエルゴード的になる。・・・・・・・

しかし、この考え方は間違いでした。１５回目ごろには定常状態になる、と言っても、それは現在から見た確率のことを言っています。１５回目にどの状態になったかを確認すれば、それは０か１のいずれかの状態になっているのであって、１／３が状態０で２／３が状態１のなにやら混合したモヤモヤっとした状態が存在するわけではないのは、考えてみればあたりまえのことです。もし、１５回目の状態が０であったならば、１６回目も状態が０である確率は「０．８」（＝８０％）です。つまり１６回目も状態０になることが結構確からしいのです。そうだとすれば、これはサイコロを振っているのとは大きく違います。何が違うのでしょうか？　サイコロの場合は、毎回の確率が定まっているのに対して、この例の場合は、１つ前の状態が何であったかによって次の状態の発生確率が変わる点です。
ですから、サイコロを振るのと同じだからエルゴード的である、と結論してはいけないことになります。では、どうやってエルゴード的であることを証明すればよいでしょうか？　また、そこから考えてみました。
「エルゴード性とは？（６）」に続きます。