「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（４）

上位エントリ：サイバネティックス
先行エントリ:「サイバネティックス」という本の「第２章　群と統計力学」（３）

エルゴード理論の概説が始まります。

　ふつうのエルゴード定理を述べるには、まず次のような性質をもつ集合 $E$ のことから始めなければならない。すなわち、 $E$ の測度は１とし、かつ $E$ は保測変換 $T$ 、あるいは保測変換 $T^\lambda$ の群によって $E$ それ自身に変換されるものとする。ただし、 $-\infty<\lambda<\infty$ 、かつ
　(2.14)　　　
とする。
　エルゴード理論では、 $E$ 上で定義された複素数値函数 $f(x)$ を考える。どの場合にも $f(x)$ は $x$ に関し可測であるとし、また変換の連続群 $\{T^{\lambda}\}$ を扱う場合には、 $f(T^{\lambda}x)$ は $x$ と $\lambda$ について同時に可測であるとする。

このエントリでは連続的な変換群 $T^\lambda$ については検討しないことにします。以下、その部分を飛ばして引用します。また、この本には

クープマンとフォン＝ノイマンの平均エルゴード定理

と

バーコフの個別エルゴード定理

の両方が示されていますが、バーコフの個別エルゴード定理だけを取り上げることにします。

さて、集合 $E$ については、あとで
$\Bigint_0^1f(x)dx$
と出てくるので、これは０から１までの区間と考えればよいと思います。保測変換とは測度を保存する変換です。測度という言葉は、長さや面積、体積、のような大きさを表す概念を抽象化したものですが、ここでは確率と同等と考えてよいでしょう。
時刻０で $x(0)$ にあった点が時刻 $t$ の時に $x(t)$ 移動しているとしましょう。上の引用では限定していませんがエルゴード理論を統計力学の文脈で解釈するならば、変換 $T$ は $x(0)$ を $x(t)$ に対応付ける変換です。すると

$Tx(0)=x(t)$

と書くことが出来ます。すると

$T^2x(0)=T(Tx(0))=T(x(t))$

となりますが、これは時刻０の時に $x(t)$ の位置にあった点が $t$ 後に存在する位置を表しているので

$T^2x(0)=T(Tx(0))=T(x(t))=x(t+t)=x(2t)$

となります。同様に

$T^3x(0)=x(3t)$
$T^4x(0)=x(4t)$

・・・・・・・・

$T^nx(0)=x(nt)$

となります。

　(2.16)

”ほとんどいたるところで”の収束を保証するバーコフのエルゴード定理では、 $f(x)$ が $L$ に属する場合、すなわち
　(2.20)　　
である場合を扱う。
　函数 $f_N(x)$ ・・・・・は(2.16)・・・・におけるように定義される。
　するとこの定理の主張するところは、測度0であるような $x$ の集合を除いては
　(2.21)　　
・・・・・・
が存在するということである。