MitraとMitrani 1990年のかんばん方式に関する研究（１）

MitraとMitraniによる1990年のかんばん方式に関する研究成果の概要が、大野勝久氏のJIT生産システム（オペレーションズ・リサーチ――経営の科学　1998年5月号　所収）の３．定量引き取りかんばん方式に説明されています。

Mitra and Mitrani [*1, *2]は、工程 $j$ が $C_j$ 枚の生産指示かんばんをもつ、図２に示される $N$ 工程からなる生産指示かんばんモデルを考えている。工程 $j$ の機械の待ち行列 $Q$ には、かんばんのついた工程 $(j-1)$ の完成品（部品）が加工を待っており、加工が完了したとき工程 $(j+1)$ の生産指示かんばんポスト $A'$ にかんばんがなければ、完成品置き場 $B$ で $A'$ にかんばんが到着するのを待つ。一方、加工が完了したとき $A'$ にかんばんがあれば、直ちに工程 $j+1)$ の生産指示かんばんとともに待ち行列 $Q'$ に入り、工程 $j$ の生産指示かんばんは生産指示かんばんポスト $A$ に戻る。そして、工程 $(j-1)$ の完成品置き場に部品があれば、直ちにその部品とともに待ち行列 $Q$ に入る。

Ａ：工程 $j$ の生産指示かんばんポスト

Ｂ：工程 $j$ の完成品（部品）置き場

Ｃ：完成品置き場から生産指示ポストへのかんばんの移動

Ｄ：工程 $j$ から工程 $(j+1)$ へ運ばれる部品

Ｑ：かんばんのついた加工待ち部品の待ち行列

図２　生産指示かんばんモデル

本物のかんばん方式は、生産指示かんばんと引き取りかんばん、という２種類のかんばんを用いて運用するのですが、それでは複雑すぎて数理的な解析が困難なので、生産指示かんばんだけを用いたかんばん方式を考えて、それを解析しているのでしょう。このことについては「ＪＩＴ生産システム」のあとのほうにこう書かれています。

　前節に述べたように、実際のJIT生産システムの引き取りは、引き取りかんばんを用いて行われる。一方、この生産指示かんばんモデルでは、生産指示かんばんポストにかんばんがある限り引き取られ、待ち行列 $Q$ のように実際のJIT生産システムにはない待ち行列がみられるものの、１枚を定量とする生産指示かんばんと同数枚の引き取りかんばんをもつ定量引き取りかんばん方式のモデルと考えることができる。

ところで図２を注意深く読まないと見落としてしまいますが、各工程は１台の装置から成っています。実際の生産ラインでは１工程を複数の装置が担当することは普通にあることですので、このMitraとMitraniの研究は現実に比べれば特殊な、限られた条件内での研究になっています。各工程が１台の装置から成っていることを念頭におかないと以下に登場する数式がなぜ成り立つのか理解出来なくなります。

さて、「ＪＩＴ生産システム」における記述を追っていきます。

したがって、 $n=1,2,...$ , $j=1,...,N$ に対して

$S_n^j$ ： $n$ 番目の部品の工程 $j$ における加工時間

$U_n$ ： $n$ 番目の製品需要の到着時刻

$A_n^j$ ： $n$ 番目の部品が工程 $j$ の待ち行列に入る時刻

$A_n^{N+1}$ ： $n$ 番目の製品需要が製品を引き取る時刻

$D_n^j$ ： $n$ 番目の部品の工程 $j$ における加工完了時刻

とおけば・・・・・・

$n$ 番目の部品というのは $n$ 番目に生産ラインに投入される部品という意味です。それぞれの部品には製品になった際の需要が割りつきます。いつ部品と需要が割り付けられるのかは、記述からはよく分かりませんが、どうも未割付の部品と未割付の製品需要の両方がそろった時に、部品、製品需要の双方とも古いものから順に割り付けるようです。

とおけば、工程１の前に原材料倉庫を仮定しているので

$D_n^0=0$ ・・・・・(5)

である。

つまり工程０での任意の部品 $n$ の加工完了時刻はゼロに予め設定されている、ということです。換言すれば、生産ラインに投入すべき材料の準備はすでに出来ている、ということです。

さらに

$A_n^j=\max\{D_n^{j-1},A_{n-C_j}^{j+1}\}$ ・・・・・(6)

工程 $j$ の待ち行列に部品 $n$ が到着するためには、その前の工程である工程 $j-1$ で部品 $n$ の処理が完了し、かつ、生産指示かんばんが来ていなければなりません。部品 $n$ に割当てられる生産指示かんばんはその前には部品 $n-C_j$ に割当てられているから、それがはずされる時刻は、部品 $n-C_j$ が工程 $j+1$ の待ち行列に入った時刻 $A_{n-C_j}^{j+1}$ になります。一方、工程 $j-1$ で部品 $n$ の加工が完了する時刻は $D_n^{j-1}$ になります。よって工程 $j$ の待ち行列に部品 $n$ が到着する時刻 $A_n^j$ は、式(6)によって与えられることが分かります。