ポアソン分布とアーラン分布の関係 - 工場統計力学（建設中！）

$p(k;t)=\frac{(\lambda{t})^k}{k!}\exp(-\lambda{t})$ ・・・・(1)

でした。一方、「アーラン分布」で示したようにアーラン分布の式は

$f(t;k)=\frac{\lambda^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})$ ・・・・(2)

でした。この２つの式は非常に似ています。よく調べてみると

$f(t;k)={\lambda}p(k-1;t)$ ・・・・(3)

という関係にあることが分かります。しかしポアソン分布とアーラン分布の定義の仕方は異なっています。ポアソン分布は、到着間隔時間の確率分布が平均 $1/\lambda$ の指数分布であるような到着過程（ポアソン過程）において、時間間隔 $[0,t]$ の間に何個到着するか、を示す分布として定義されましたが、一方アーラン分布は平均 $1/\lambda$ の指数分布に従う確率変数を $k$ 個足したものの分布として定義されました。このように微妙に異なる２つの分布の間に式(3)が成り立つのはどうしてなのか、考えてみました。

$k$ 次のアーラン分布で $t$ の確率密度が $f(t:k)$ であるということは、そのアーラン分布に従う確率変数の値が $t$ と $t+dt$ の間に存在する確率が $f(t;k)dt$ である、ということを意味します。一方 $k$ 次のアーラン分布とは同一の指数分布に従う $k$ 個の確率変数の和の確率分布です。これは到着間隔が指数分布の到着過程（つまりポアソン過程）を考えた時の、ある到着から $k$ 個目の到着までの時間の長さの分布と考えることが出来ます。そうするとその時間の長さが $t$ と $t+dt$ の間に存在するということは、0から $t$ までの間には到着は $k-1$ 回あって、 $t$ と $t+dt$ の間にもう１回到着がある、ということになります。0から $t$ までの間で到着が $k-1$ 回ある確率は、ポアソン分布を用いて $p(k-1;t)$ と表すことが出来ます。次に $t$ と $t+dt$ の間に到着が１回起きる確率は、ポアソン過程の性質から ${\lambda}dt$ となります。よって

$f(k;t)dt=p(k-1;t){\lambda}dt$

が成り立ちます。この式を整理すれば式(3)が成り立つことが分かります。