工場統計力学（建設中！）

ちょっと面白い積分

待ち行列理論

まだ何の役に立つのか分かりませんが、ちょっと面白い積分の式を導くことが出来たのでご紹介します。

・・・・(1)
- ただし $k$ は０以上の整数です。

以下のようにして数学的帰納法で証明しました。まず $k=0$ の時、式(1)の左辺は

$\Bigint_0^t\exp(-x)dx=\left[-\exp(-x)\right]_0^t=1-\exp(-t)$

となり、式(1)の右辺は

$1-\exp(-t){\times}\frac{t^0}{0!}=1-\exp(-t)$

となるので、式(1)は成り立ちます。

次に、 $k=s$ の時に式(1)が成り立つとします。つまり、

$\Bigint_0^t\frac{x^s}{s!}\exp(-x)dx=1-\exp(-t)\Bigsum_{n=0}^s\frac{t^n}{n!}$ ・・・・(2)

です。式(2)の左辺は、部分積分を使うと

- $=\frac{t^{s+1}}{(s+1)!}\exp(-t)+\Bigint_0^t\frac{x^{s+1}}{(s+1)!}\exp(-x)dx$

よって

$\Bigint_0^t\frac{x^{s+1}}{(s+1)!}\exp(-x)dx=\Bigint_0^t\frac{x^s}{s!}\exp(-x)dx-\frac{t^{s+1}}{(s+1)!}\exp(-t)$ ・・・・(3)

式(3)に式(2)を代入すると

$\Bigint_0^t\frac{x^{s+1}}{(s+1)!}\exp(-x)dx=1-\exp(-t)\Bigsum_{n=0}^s\frac{t^n}{n!}-\frac{t^{s+1}}{(s+1)!}\exp(-t)$

よって

$\Bigint_0^t\frac{x^{s+1}}{(s+1)!}\exp(-x)dx=1-\exp(-t)\Bigsum_{n=0}^{s+1}\frac{t^n}{n!}$ ・・・・(4)

よって $k=s+1$ の時にも式(1)は成り立つことが分かります。よって、ゼロ以上の任意の整数 $k$ について式(1)は成り立ちます。

さらに、 $a$ を任意の定数として

$x=ay$ ・・・・(5)

と置きます。すると

$dx=ady$ ・・・・(6)

となり、式(1)の左辺の積分の範囲を $y$ で考えれば $0$ から $t/a$ までとなります。よって式(1)は

$\Bigint_0^{t/a}\frac{a^ky^k}{k!}\exp(-ay)ady=1-\exp(-t)\Bigsum_{n=0}^k\frac{t^n}{n!}$

となります。よって

$\Bigint_0^{t/a}\frac{a^{k+1}y^k}{k!}\exp(-ay)dy=1-\exp(-t)\Bigsum_{n=0}^k\frac{t^n}{n!}$ ・・・・(7)

ここで

$u=\frac{t}{a}$ ・・・・(8)

と置くと、式(7)は

$\Bigint_0^u\frac{a^{k+1}y^k}{k!}\exp(-ay)dy=1-\exp(-au)\Bigsum_{n=0}^k\frac{{au}^n}{n!}$

この式で、改めて $y$ を $x$ に $u$ を $t$ に記号を置き換えると

$\Bigint_0^t\frac{a^{k+1}x^k}{k!}\exp(-ax)dx=1-\exp(-at)\Bigsum_{n=0}^k\frac{a^nt^n}{n!}$ ・・・・(8)

を得ることが出来ます。