「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（８）

『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（７）』のつづきです。
次にＤ／Ｍ／１待ち行列の場合の $b$ の値を求めます。そしてそれを、私の近似式

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(1+c_e^2)-(1-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u-1])u}$ ・・・・(8)

で計算した結果と、Wolfgang Kraemer氏とManfred Lagenbach-Belz氏の近似式

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(11)
ただし
- $h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{1+ac_a^2+bc_e^2}{1-u+cc_a^2+dc_e^2}$ 　（ $c_a^2{\le}1$ ）・・・・(12-1)

で計算した結果と比較します。

Ｄ／Ｍ／１ですので

$c_a^2=0$ ・・・・(52)

です。さてこの場合も『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（４）』の式

$b=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)g(t)dt$ ・・・・(28)

が成り立ちます。到着間隔の確率密度関数 $g(t)$ については、Ｄ／Ｍ／１の場合、間隔

$\frac{t_e}{u}$

で一定であるので確率密度は $t=t_e/u$ の時のみ無限大で、その他の値の場合はゼロ、さらに確率密度を $t$ の値がゼロから無限大まで積分すると１になるという関数になります。これはディラックのデルタ関数 $\delta()$ になります。どうも厳密な数学ではデルタ関数を用いてはいけないようなのですが、私はそれほどの知識を持っていないのでデルタ関数 $\delta()$ を用いて $g(t)$ を

$g(t)=\delta\left(t-\frac{t_e}{u}\right)$ ・・・・(53)

と表します。これを式(28)に代入すると

$b=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)\delta\left(t-\frac{t_e}{u}\right)dt$ ・・・・(54)

ここで、

$\frac{t_e}{u}>0$

であり、よって $t{\le}0$ で常に

$\delta\left(t-\frac{t_e}{u}\right)=0$

であることを考えると式(54)は以下のように書き直すことが出来ます。

$b=\Bigint_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)\delta\left(t-\frac{t_e}{u}\right)dt$ ・・・・(55)

$t=\frac{t_e}{u}$ 以外では積分の中はゼロであるので

- $=\exp\left(-\frac{(1-b)\frac{t_e}{u}}{t_e}\right)\Bigint_{-\infty}^{\infty}\delta\left(t-\frac{t_e}{u}\right)dt=\exp\left(-\frac{(1-b)\frac{t_e}{u}}{t_e}\right)$
- $=\exp\left(-\frac{1-b}{u}\right)$