k≦mの時のp(k)の推定（１）――ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似式（by Ward Whitt教授）へのメモ

私がＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似で知りたいことの一つは、システムにジョブが $k$ 個ある場合の定常状態確率分布を $p(k)$ で表わした場合、 $k{\le}m$ の時の $p(k)$ をどのように推定したらよいか、ということでした。そのことは「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（７）」で

[tex:k

[tex:k

$p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(6)

と書いたように私にとっては「もう推定する根拠がない」状態でした。ただし、

$p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(9)

です。
この点についてWard Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue（ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似式）」は、

　確率関数 $P(N=k)$ の単純な近似は

$P(N=k)=\left{\begin{array}P(Q=k-m)&k{\ge}m+1\\p(k)&0{\le}k{\le}m\end{array}$

である。ただし $p(k)=q(k)/\Bigsum_{j=0}^mq(j)$ で $q(j)=\alpha^je^{-\alpha}/j!$ である。

「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３６）」より

と答えています。今の私の興味にそって書き直し、さらに私の表記法で書き直せば

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{q(k)}{\Bigsum_{j=0}^sq(j)}$ ・・・・(1)
- ただし
  - $q(j)=\frac{\alpha^{j}e^{-\alpha}}{j!}$ ・・・・(2)

です。では、この $\alpha$ については

　ポアソン強度 $\alpha$ を指定することによって $P(N=k)$ の近似を完成させる。これはビジーなサーバの期待数の正確な値にマッチさせることで行うことが出来る。

$EB=m\rho=\Bigsum_{k=0}^mkP(N=k)+mP(Q>0)$ ・・・・(5.22)

これは以下の公式を導く

$\Bigsum_{k=0}^mkp(k)=m[\rho-P(Q>0)]$ ・・・・(5.23)

「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３６）」より

と書かれています。(5.22)を私の表記法で書き直すと

$su=\Bigsum_{k=0}^skp(k)+sP(Q>0)$ ・・・・(3)

となります。ここで $P(Q>0)$ とは待ち行列長 $Q$ が１以上である確率を表わしています。ということはジョブ数 $k$ が $s+1$ 以上である確率ということになり、私の表記法では

$P(Q>0)=\Bigsum_{k=s+1}^{\infty}p(k)$ ・・・・(4)

ということになります。(4)を(3)に代入すれば

$su=\Bigsum_{k=0}^skp(k)+s\Bigsum_{k=s+1}^{\infty}p(k)$ ・・・・(5)

となって式の意味が理解し易くなります。
さらにこの論文では $P(Q>0)$ を

　 $P(Q>0)$ についての私の近似は、到着間隔時間 $U$ と待ち時間 $W$ の累積分布関数が与えられた条件での $P(Q>0)$ の正確な式に基づいている。具体的には

$P(Q>0)=\lambda{E}(\min\{U,W\})=\lambda\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(W{\ge}t)dt$

$=\lambda{P}(W>0)\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(D{\ge}t)dt$ ・・・・(5.1)

である。Brumelle (1972、定理２と３)は公式(5.1)は基本的な待ち行列の関係 $H=\lambda{G}$ から演繹出来ることを示した。
　２つのコンポーネントの累積分布関数 $P(U{\le}t)$ と $P(D{\le}t)$ を、最初の２つのモーメントをマッチさせることで得た指数分布を含む便利な累積分布関数で近似することによって(5.1)に適用する。私はWhitt (1983a、p.2805)で説明した、セクションでの $P(D{\le}t)$ についての手続きと本質的に同じ手続きに従う。計算を簡単にするために、ケース４では $0.01{\le}c^2<0.501$ の場合シフトした指数分布(Whitt 1982b、p.138)を用い、 $c^2<0.01$ の場合決定論的分布を用いる。５×５＝２５ケースの全てについて積分を簡単に実行することが出来、よって近似した分布のパラメータ $(\lambda,c_a^2)$ と $(ED,c_D^2)$ に関して $P(Q>0)$ の閉形式の式を得ることが出来る。
　 $E(Q|Q{\ge}1)=(EQ)/P(Q>0)$ が必然的に１以上なので、 $P(Q>0){\le}EQ$ でなければならない。 $EB=m\rho=mP(Q>0)+\Bigsum_{k=1}^mkP(N=k)$ なので $P(Q>0){\le}\rho$ 。よって、最終の近似公式では、(5.1)に基づく近似を $\min\{EQ,\rho,P(Q>0)\}$ で置き換える。

「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３１）」より

で近似出来ると言っています。さあ、これをどう理解しましょう？