工場統計力学（建設中！）

拡散近似（８）

待ち行列理論

「拡散近似（７）」の続きです。
それにしても「拡散近似（６）」で求めたブラウン運動の定常状態分布の式（５３）

$p(x)=\frac{2b}{a^2}\exp\left(\frac{2b}{a^2}x\right)$ ・・・・・（５３）

の意味は何なのでしょう？
もともと近似しようとしていた待ち行列の客数の過程 $Q(t)$ では、 $Q(t)$ の値は０以上の整数です。よってその分布関数は ${p(k)$ （ $k$ は０以上の整数）という形に書けるはずです。ところが式（５３）の $p(x)$ で $x$ は０以上の実数です。ここで以後、話が混乱しないように、式（５３）に登場する近似としての客数分布の確率密度は $\hat{p}(x)$ で表し、本来の客数分布の確率 $p(k)$ と区別することにします。

$\hat{p}(x)$ をもって $p(k)$ の近似であるとするわけにはいきません。だいたい $p(k)$ は確率を表しているが $\hat{p}(x)$ は確率密度です。それでも $\hat{p}(x)$ を用いて求めた平均客数

$\hat{L}=\Bigint_{x=0}^{\infty}x\hat{p}(x)dx$

は $p(k)$ を用いて求めた平均客数

$L=\Bigsum_{k=0}^{\infty}kp(k)$

の近似になっていると期待できます。なぜそう期待できるのか、今の私には直感的にはそうだ、と思えるのですが、それを論理的に示すことが正直なところ出来ません。今は先に進みます。そこで平均客数 $\hat{L}$ を求めると、積分するまでもなく（５３）が指数分布の形をしていることから平均 $L$ は

$\hat{L}=-\frac{a^2}{2b}$ ・・・・・（５６）

であることが分かります。

ところでこのブラウン運動の平均は

$bt$ ・・・・・（４９）

標準偏差は

$a\sqrt{t}$ ・・・・・（５０）

でした。一方、近似の対象になっている待ち行列の客数の過程では平均は「拡散近似（３）」で示したように、

$m_Q=(u-1)\frac{m}{t_e}s$ ・・・・・（２１）

分散（＝標準偏差の２乗）

$\sigma_Q^2=\left(\frac{c_a^2}{t_a}+\frac{mc_e^2}{t_e}\right)s$ ・・・・・（２２）

でした。よって、このブラウン運動によって客数過程を近似するには（２１）（２２）では $s$ が時間を表していることに注意すれば

$b=(u-1)\frac{m}{t_e}$ ・・・・・（５７）
$a^2=\left(\frac{c_a^2}{t_a}+\frac{mc_e^2}{t_e}\right)$ ・・・・・（５８）

と置くべきであることが分かります。よって平均客数（＝ジョブ数） $\hat{L}$ は（５６）（５７）（５８）から

- $=\left(c_a^2\frac{t_e}{t_a}+mc_e^2\right)\frac{1}{2m(1-u)}$

ここで

$\frac{t_e}{t_a}=mu$

であることに注意すれば

$\hat{L}=(muc_a^2+mc_e^2)\frac{1}{2m(1-u)}=\frac{uc_a^2+c_e^2}{2(1-u)}$

よって

$\hat{L}=\frac{uc_a^2+c_e^2}{2(1-u)}$

となります。よって

$L{\approx}\frac{uc_a^2+c_e^2}{2(1-u)}$ ・・・・・（５９）

となります。ここでリトルの法則を用いると $L$ がＷＩＰに、

$\frac{mu}{t_e}$

がスループットにあたるので、サイクルタイム $CT$ は

$CT=\frac{L}{mu}t_e{\approx}\frac{c_a^2+\frac{c_e^2}{u}}{2m(1-u)}t_e$

よって平均待ち時間 $CT_q$ は

$CT_q=CT-t_e{\approx}\frac{c_a^2+\frac{c_e^2}{u}}{2m(1-u)}t_e-t_e$

ここから

$(1-u)CT_q{\approx}\frac{c_a^2+\frac{c_e^2}{u}}{2m}t_e-(1-u)t_e$

ここで $u{\rightar}1$ とすると、この拡散近似は $u{\rightar}1$ で正確になる近似ですから

$\lim_{u{\rightar}1}(1-u)CT_q=\frac{c_a^2+c_e^2}{2m}t_e$ ・・・・・（６０）

という等式が成り立ちます。これが重負荷極限定理(heavy traffic limit theorems)と呼ばれる式だそうです。

「拡散近似（９）」に続きます。