Ｍ／Ｇ／１における待ち時間の式の導出（１）
Ｍ／Ｇ／１の待ち行列における待ち時間の式は、
導出方法
「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（３）」でＭ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式を導出出来たので、これをＭ／Ｇ／ｍ、すなわち処理時間は一般の確率分布の場合に拡張したくなります。しかし、処理時間が一般の確率分布になったことで、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）」で述べた「記憶なし特性」すなわち
装置の処理が終了する確率は常に一定です（記憶なし特性）。
が失われますので、
上図のような図を描くことが出来ません。というわけであっさり降参です。そこで少し問題の難易度を下げてＭ／Ｇ／１にした場合、まったく別の角度から、待ち時間を導くことが出来ます。
ロットが到着した時に装置が他のロットを処理中かどうかということを考えます。到着間隔が指数分布、つまりデタラメに到着する、ということから、ロットが到着した時に装置が処理中である確率はそもそも利用率になることが分かります。
- このあたりの議論は厳密にはＰＡＳＴＡという概念の議論になります。ＰＡＳＴＡとはPoisson Arrival See Time Averageの略でポアソン到着（到着間隔が指数分布の到着）は（いろいろな現象の）時間平均を見るだろう、ということです。ＰＡＳＴＡについてはここでは詳しく述べません。ここを参照して下さい。
さらに、到着した時に待ち行列で待っているロットの個数の平均値はこれもＰＡＳＴＡにより待ち行列の（時間）平均の長さになります。また、装置が処理中の時の処理の残り時間はもちろん確率変数ですが、その平均値を
とします。よって、このロットが待ち行列で待つ時間の平均値は、今、装置が処理中であるならば、
- （装置が処理中である場合の待ち行列の平均の長さ）×
＋
であり、今、装置が空いているならば
- ゼロ
です。装置が処理中である確率はですから、ロットが待ち行列で待つ時間の平均
は
×（装置が処理中である場合の待ち行列の平均の長さ）×
となります。
は
- （装置が処理中である確率）×（装置が処理中である場合の待ち行列の平均の長さ）＋（装置が処理中でない確率）×０
ここで装置が処理中でない場合は、待ち行列の長さはゼロであることを考慮すれば、上の式はさらに
と書けることになり、よってこれは待ち行列の平均の長さにほかならないことになります。
よって、ロットが待ち行列で待つ時間の平均は
・・・・・・（１）
と書けます。
ここでに対してリトルの法則を適用します。ロットの到着するスループットを
とすると
になります。スループットはロットの平均到着間隔の逆数であり、ロットの平均到着間隔は
ですので
よって
これを式（１）に代入すると
よって
・・・・・・（２）
ここですなわち装置の処理の残り時間の平均値をもっと理解しやすい形に書き表すことが出来れば、Ｍ／Ｇ／１の時のロットの平均待ち時間
を求めることが出来ます。「Ｍ／Ｇ／１における待ち時間の式の導出（２）」に続きます。
