Ｍ／Ｍ／２における待ち時間の式

待ち行列理論

上位エントリ：Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）
なぜかＭ／Ｍ／２で検索をして私のブログにくる人が多いようなので、Ｍ／Ｍ／２の待ち行列における待ち時間の式をここに示します。

  • CT_q=\frac{u^2}{1-u^2}t_e・・・・・・（１）
    • ただし、
      • CT_q：キューでの待ち時間
      • uは装置の利用率
      • t_e：装置の平均処理時間

導出方法

「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）」に示したようにＭ／Ｍ／ｍ待ち行列の待ち時間の式は

  • CT_q=\frac{m^{m-1}u^m}{m!(1-u)^2}p_0t_e・・・・・・（２）
    • ただし
    • p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}・・・・・・（３）
    • mは装置台数

でした。式（２）にm=2を代入すると、

  • CT_q=\frac{2^{2-1}u^2}{2!(1-u)^2}p_0=\frac{2u^2}{2(1-u)^2}p_0t_e=\frac{u^2}{(1-u)^2}p_0t_e・・・・・・（４）

になります。式（３）にm=2を代入すると、

    • p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{2-1}\frac{(2u)^k}{k!}+\frac{(2u)^2}{2!(1-u)}}=\frac{1}{\frac{(2u)^0}{0!}+\frac{(2u)^1}{1!}+\frac{4u^2}{2(1-u)}}=\frac{1}{1+2u+\frac{2u^2}{1-u}}
    • =\frac{1}{\frac{1-u+2u-2u^2+2u^2}{1-u}}=\frac{1-u}{1-u+2u-2u^2+2u^2}=\frac{1-u}{1+u}・・・・・・（５）

式（５）を式（４）に代入して

  • CT_q=\frac{u^2}{(1-u)^2}\frac{1-u}{1+u}t_e=\frac{u^2}{(1-u)(1+u)}t_e=\frac{u^2}{1-u^2}t_e

よって

  • CT_q=\frac{u^2}{1-u^2}t_e・・・・・・（１）

これでＭ／Ｍ／２の時の待ち時間の式を求めることが出来ました。

付け足し

平均待ち時間の式はＭ／Ｍ／１の場合とＭ／Ｍ／２の場合には簡単な式になりましたがＭ／Ｍ／３以上になると急にややこしい式になってしまいます。待ち行列理論の一筋縄でいかないところです。