Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（７） - 工場統計力学（建設中！）

「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（６）」の続きです。
今日も２ページ。

　ここで我々はQNAがクラスとルート毎のインプットをどのようにセクション2.1の標準インプットに変換するかを示す。このために、 $1H$ が集合 $H$ の指示関数であるとしよう。つまりもし $x{\in}H$ ならば $1H=1$ さもなければ $1H=0$ である。
　最初に、外部到着レートを
				(3)
によって得る。つまり、ノード $j$ での外部到着レート $\lambda_{0j}$ はルート上の最初のノードが $j$ であるような全てのルートの到着レート $\hat\lambda_k$ の合計である。（ここで $H=\{k:n_{k1}=j\}$ について $1H$ 記法を用いている。）　同様に、 $i$ から $j$ へのフロー・レートは
				(4)
であり、 $i$ からネットワークの外へのフローは
				(5)
である。(4)と(5)から、ルーティング行列 $Q$ を得ることが出来る。 $i$ から $j$ に向かう客の割合は
				(6)
である。もしノード $i$ がネットワークのアクティブな部分であれば、分母は厳密に正になるだろう。さもなければQNAはエラーメッセージを出す。
　次に、もしサービス時間パラメータがルート毎に得られるならば、平均することでノードについてのサービス時間パラメータを得ることが出来る。
				(7)
(7)の分母は、もしノード $j$ が一度でも訪問されたことがあれば厳密に正である。さもなければ、(6)と同様QNAはエラーメッセージを出す。
　分布の混合の２次モーメントが２次モーメントの混合であるという性質を用いてノード変動パラメータ $c_{sj}^2$ を得る。よって
			(8)
　この時点で、QNAは、セクション4.1で説明するように、内部フロー・レート $\lambda_j$ とトラフィック強度 $\rho_j$ を計算するための標準インプットについて十分な情報を計算した。つまり、
						(9)
QNAは外部到着過程の変動パラメータ $c_{0j}^2$ を計算するためにこの情報を用いる。ノード $j$ への外部到着過程はさまざまなクラスからのノード $j$ への外部到着過程の重ね合わせであるので、セクション4.2での重ね合わせ到着過程のためのハイブリッド近似もまたここで用いられる。もし $\lambda_{0j}=0$ ならば、 $c_{0j}^2$ は問題ではなくQNAは $c_{0j}^2=1$ と設定する。さもなければ、
		(10)
ただし、
			(11)
$\rho_j$ は(9)におけるトラフィック強度であり、
		(12)
である。
例１：考えを定着させるのを助けるために、 $n=2$ ノードと $r=3$ ルートを持つ基礎的な例を考察しよう。ノードのサーバの数を $m_1=40$ と $m_2=10$ としよう。ルートのインプットをベクトル
		(13)
で記述するとしよう。ここで $r$ ベクトルは
	(2,2,1; 1,1,1; 1,3,3)
	(3,3,2; 1,2,0; 2,1,1; 1,2,1)
	(2,2,4; 2,1,1; 1,2,1)			(14)
であるとしよう。最初のルートはノード1へのレート2のポアソン到着過程に対応していて、全ての客はネットワークから出発する前に２番目のサービスのために即座に戻される。（もちろん、到着過程は実際にはポアソンである必要はない。ポアソン仮定は常に $c^2=1$ であるが他の仮定も $c^2=1$ であり得る。）　２番目のクラスもノード１で入り、次にノード２に行き、ネットワークを出発する前にノード１に戻る、などである。
　(3)によって、外部到着レートは $\lambda_{01}=5$ と $\lambda_{02}=2$ である。(4)によって、内部フロー・レートは $\lambda_{11}=2$ 、 $\lambda_{12}=3$ 、 $\lambda_{21}=5$ 、 $\lambda_{22}=0$ である。(5)より、ネットワークから出るフロー・レートは $\lambda_{10}=7$ と $\lambda_{20}=0$ である。(6)によって、ルーティング過程は、 $q_{11}=1/6$ 、 $q_{12}=1/4$ 、 $q_{21}=1$ 、 $q_{22}=0$ である。(7)によって、平均サービス時間は $\tau_1=2$ と $\tau_2=1$ である。

「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（８）」に続きます。