アーラン分布 - 工場統計力学（建設中！）

$f(t;k,\lambda)=\frac{\lambda^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})$ ・・・・(1)

を $k$ 次のアーラン分布と呼び、記号 $E_k$ で表します。

アーラン分布が正規化されていることの確認

アーラン分布を $t$ で0から $\infty$ まで積分すると１になること、つまり

$\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})dt=1$ ・・・・(2)

が成り立つことを数学的帰納法で確かめておきます。
まず $k=0$ の場合(1)は

$f(t;1,\lambda)=\frac{\lambda^1t^{0}}{0!}\exp(-\lambda{t})=\lambda\exp(-\lambda{t})$

となり、指数分布と一致します。よって(2)の左辺は

$\Bigint_0^{\infty}\lambda\exp(-\lambda{t})dt=\left[-\exp(-\lambda{t})\right]_0^{\infty}=\{0-(-1)\}=1$

となり(2)が成り立ちます。
次に $k=n$ の場合に(2)が成り立つとします。

$\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^nt^{n-1}}{(n-1)!}\exp(-\lambda{t})dt=1$ ・・・・(3)

(3)の両辺を $\lambda$ で微分して

$\Bigint_0^{\infty}\frac{n\lambda^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!}\exp(-\lambda{t})dt+\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^nt^{n-1}}{(n-1)!}(-t)\exp(-\lambda{t})dt=0$
$\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^nt^n}{(n-1)!}\exp(-\lambda{t})dt=\Bigint_0^{\infty}\frac{n\lambda^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!}\exp(-\lambda{t})dt$
$\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^nt^n}{n!}\exp(-\lambda{t})dt=\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!}\exp(-\lambda{t})dt$
$\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^{n+1}t^n}{n!}\exp(-\lambda{t})dt=\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^nt^{n-1}}{(n-1)!}\exp(-\lambda{t})dt$ ・・・・(4)

ところが(4)の右辺は(3)の左辺に等しいので

$\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^{n+1}t^n}{n!}\exp(-\lambda{t})dt=1$
$\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^{n+1}t^{(n+1)-1}}{\{(n+1)-1\}!}\exp(-\lambda{t})dt=1$

よって $k=n+1$ の時に(2)が成り立つ。よって任意の非負の整数 $k$ に対して(2)が成り立ちます。

(2)の変形として

$\Bigint_0^{\infty}t^{k-1}\exp(-\lambda{t})dt=\frac{(k-1)!}{\lambda^k}$

よって

$\Bigint_0^{\infty}t^k\exp(-\lambda{t})dt=\frac{k!}{\lambda^{k+1}}$ ・・・・(4)

この式は後で使います。

１次のアーラン分布は指数分布

１次のアーラン分布 $E_1$ は指数分布に等しいです。これは

$f(t;1,\lambda)=\frac{\lambda^1t^{0}}{0!}\exp(-\lambda{t})=\lambda\exp(-\lambda{t})$

と変形すれば明らかです。

アーラン分布は指数分布の和

$k$ 次のアーラン分布 $E_k$ は、同一の指数分布を持つ互いに独立な $k$ 個の確率変数の和の分布と考えることが出来ます。平均 $1/\lambda$ の指数分布を持つ $k$ 個の確率変数 $X_i$ を考えます。すると $E_k$ は

$E_k=\Bigsum_{i=1}^kX_i$ ・・・・(5)

と表わされます。これをここで確かめます。
まず $k=1$ の時に式(5)が成り立つのは前節「１次のアーラン分布は指数分布」で明らかです。次に $k=n$ の時に(5)が成り立つとします。つまり

$E_n=\Bigsum_{i=1}^nX_i$ ・・・・(6)

そこで

$\Bigsum_{i=1}^{n+1}X_i$

の分布がどのような確率密度関数になるかを調べます。まだ、これがアーラン分布になるとは分かっていないので便宜的に $Y$ で表わします。つまり

$Y=\Bigsum_{i=1}^{n+1}X_i$ ・・・・(7)

この $Y$ の分布が $n+1$ 次のアーラン分布になれば(5)が証明されたことになります。(6)と(7)から

$Y=X_{n+1}+E_n$ ・・・・(8)

と書けます。さて $Y$ の確率密度関数を $g(t)$ 、 $X_{n+1}$ の確率密度関数を $f(t)$ で表します。また(5)より $E_k$ の確率密度関数は $f(t;k,\lambda)$ です。式(8)を考慮すれば $g(x)$ は以下のように書けます。

$g(t)=\Bigint_0^tf(t-x)f(x;n,\lambda)dx$ ・・・・(8)

式(1)を式(8)内の $f(x;n,\lambda)$ に適用すれば

- $=\lambda^{n+1}\exp(-\lambda{t})\frac{1}{(n-1)!}\Bigint_0^tx^{n-1}dx=\lambda^{n+1}\exp(-\lambda{t})\frac{1}{(n-1)!}\left[\frac{x^n}{n}\right]_0^t$
- $=\lambda^{n+1}\exp(-\lambda{t})\frac{1}{(n-1)!}\frac{t^n}{n}=\frac{\lambda^{n+1}t^n}{n!}\exp(-\lambda{t})=f(x;n+1,\lambda)$

よって

$g(x)=f(x;n+1,\lambda)$

つまり $Y$ は $n+1$ 次のアーラン分布を持つことが証明出来ました。よって

$E_{n+1}=\Bigsum_{i=1}^{n+1}X_i$ ・・・・(9)

が成り立ちます。式(8)が成り立つときに式(9)が成り立つので、任意の自然数 $k$ に対して式(5)が成り立ちます。

アーラン分布の平均

アーラン分布の平均 $E(E_k)$ を求めます。

- $=\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^kt^k}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})dt=\frac{k}{\lambda}\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^{k+1}t^k}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})dt=\frac{k}{\lambda}\Bigint_0^{\infty}f(t;k+1,\lambda)dt$
- $=\frac{k}{\lambda}$

よって

$E(E_k)=\frac{k}{\lambda}$ ・・・・(10)

アーラン分布の２乗平均

アーラン分布の２乗平均 $E(E_k^2)$ を求めます。

- $=\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^kt^{k+1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})dt=\frac{(k+1)k}{\lambda^2}\Bigint_0^{\infty}\frac{\lambda^{k+2}t^{k+1}}{(k+1)!}\exp(-\lambda{t})dt=\frac{(k+1)k}{\lambda^2}\Bigint_0^{\infty}f(t;k+2,\lambda)dt$
- $=\frac{(k+1)k}{\lambda^2}$