Ｍ／Ｍ／１の出発過程はポアソン過程 - 工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｍ／１待ち行列の出発過程もポアソン過程になります。すなわち、出発時刻の間隔の分布が指数分布になります。このことを見ていきます。

装置の利用率を $u$ とします。時刻0にジョブが出発したとして、 $t$ と $t+dt$ の間に次のジョブが出発する確率を求め、確率密度がポアソン過程の確率密度になっていることを示します。

Ｍ／Ｍ／１はＭ／Ｇ／１の一種であるので「Ｍ／Ｇ／ｍの定常状態のジョブ数分布について」で述べた

ジョブ出発直後に装置が空いている確率は $1-u$

を用いることが出来ます。すると時刻0にジョブが出発した直後の装置の状態は確率 $u$ で処理中、確率 $1-u$ で空き、です。もし時刻0で処理中だとすると、 $t$ と $t+dt$ の間にその処理が終る、すなわちジョブが装置から出発する確率は

となりますす。ただし、 $t_e$ は装置の平均処理時間です。

もし時刻0で装置が空いているとすると、時間 $s$ （[tex:0

です。その後、時間 $t$ と $t+dt$ の間にそのジョブの出発が起る確率は

です。よって $s$ に関わらず、時間 $t$ と $t+dt$ の間に次の出発が起る確率は

- $=\frac{u}{t_e^2}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)dt\Bigint_0^t\exp\left(\frac{(1-u)s}{t_e}\right)ds=\frac{u}{t_e^2}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)dt\frac{t_e}{1-u}\left[\exp\left(\frac{(1-u)s}{t_e}\right)\right]_0^t$
- $=\frac{u}{(1-u)t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)dt\left[\exp\left(\frac{(1-u)s}{t_e}\right)\right]_0^t=\frac{u}{(1-u)t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)dt\left[\exp\left(\frac{(1-u)t}{t_e}\right)-1\right]$
- $=\frac{u}{(1-u)t_e}\left[\exp\left(-\frac{ut}{t_e}\right)-\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)\right]dt$

よって

$\frac{u}{(1-u)t_e}\left[\exp\left(-\frac{ut}{t_e}\right)-\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)\right]dt$ ・・・・・・（２）

となります。

確率 $u$ で式（１）、確率 $1-u$ で式（２）であるので、全体では

- $=\left(\frac{u}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)+\frac{u}{t_e}\left[\exp\left(-\frac{ut}{t_e}\right)-\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)\right]\right)dt$
- $=\frac{u}{t_e}\left[\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)+\exp\left(-\frac{ut}{t_e}\right)-\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)\right]dt$
- $=\frac{u}{t_e}\exp\left(-\frac{ut}{t_e}\right)dt$