Ｍ／Ｍ／２の出発過程は何？（１） - 工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｍ／１の出発過程はポアソン過程でした。では、Ｍ／Ｍ／２の場合はどうなるでしょうか？　同じように考えてみましょう。

今度は装置が２台あるので、場合分けは、２台とも処理中の場合、１台だけが処理中の場合、２台とも空いている場合の３通りとなります。この２台の装置から成るステーションからジョブが出発した瞬間を時刻０とします。この時の装置が、２台とも処理中の場合、１台だけが処理中の場合、２台とも空いている場合、の確率はいくつでしょうか？
Ｍ／Ｍ／２はＭ／Ｇ／２の一種であるので「Ｍ／Ｇ／ｍの定常状態のジョブ数分布について」で述べた

「ジョブ数の分布（時間平均）」＝「到着時のシステムのジョブ数の分布」＝「出発時のシステムのジョブ数の分布」

を用いることが出来ます。すると時間平均を求めればよいことが分かります。これは「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式（１０）を用いれば求めることが出来ます。２台とも空いている確率 $p(0)$ は

$p(0)=p_0$

となりますが、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式（１４）を用いれば

- $=\frac{1-u}{1+2u-u-2u^2+2u^2}=\frac{1-u}{1+u}$

よって

$p(0)=\frac{1-u}{1+u}$ ・・・・・・（１）

となります。次に、１台だけが処理中である確率 $p(1)$ は「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の（１０）から

$p(1)=\frac{(2u)^1}{1!}p_0=\frac{2u(1-u)}{1+u}$ ・・・・・・（２）

であることが分かります。最後に２台とも処理中である確率 $p({\ge}2)$ は、１から $p(0)$ と $p(1)$ を引いたものになります。

- $=\frac{2u^2}{1+u}$ ・・・・・・（３）

次に、このそれぞれの場合において時刻 $t$ と $t+dt$ の間に次のジョブがこのステーションから出発する確率を求めていきましょう。
まず、時刻０で装置が２台とも処理中だとすると、 $t$ と $t+dt$ の間にその２台のいずれか１台の処理が終る、すなわちジョブがステーションから出発する確率は

$\frac{2}{t_e}\exp\left(-\frac{2t}{t_e}\right)dt$ ・・・・・・（４）

となります。ただし、 $t_e$ は装置の平均処理時間です。

次に、時刻０で１台だけが処理中の場合を考えていきましょう。この時は、処理中の装置が１台だけだから $t$ と $t+dt$ の間にその１台の処理が終る、すなわちジョブがステーションから出発する確率は

$\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)dt$

となるでしょうか？　実はそうはなりません。時刻 $t$ になる前にこのステーションに新たにジョブが到着する可能性があります。そうすると、その時点で状態は、２台とも処理中の状態になります。
つまりは、新たにジョブが到着しないまま今処理中のジョブが終了する可能性も
新たにジョブが到着したが、元から処理中だったジョブが先に終了する可能性も
新たにジョブが到着して、そのジョブのほうが先に終了する可能性もあります。
この全ての確率を求めるのにはどうすればよいでしょうか？

時刻０で装置が２台とも空いている場合は、１個のジョブが到着した時点で１台だけが処理中の状態になるので、上の場合と同じような成り行きの場合分けが考えられます。この全ての確率を求めるにはどうすればよいでしょうか？

「Ｍ／Ｍ／２の出発過程は何？（２）」に続きます。