リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（７）

「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（６）」の続きです。
次に考えたのは、Ｍ／Ｄ／２に限定して、しかも２台の装置ともに連続して処理中であって、さらに、この２台の装置の処理開始時刻がちょうど $t_e/2$ だけズレている状況です。つまりガントチャートで書くと下のようになる状況です。

そしてこの２台の装置の前にはジョブが行列を作って待っています。

この状況では $t_e/2$ 毎にジョブが処理完了し、待っているジョブが $t_e/2$ に１個ずつ処理開始されるので、処理時間 $t_e/2$ を持つ１台の装置による待ち行列と振舞いが同じであると考えることが出来そうです。２台の装置の振舞いを１台の装置で代用させる様子を下の図に示します。

そうすると、下の図のような待ち行列が出来ます。

このように考えたら、平均待ち時間はどのようになるでしょうか？　装置の処理時間 $t_e$ のＭ／Ｄ／２の待ち行列が、装置の処理時間 $t_e/2$ のＭ／Ｄ／１の待ち行列と等価であるとみなしたので、平均待ち時間 $CT_{q(M/D/2)}$ は

$CT_{q(M/D/2)}=\frac{1}{2}\frac{u}{1-u}{\times}\frac{t_e}{2}$ ・・・・(1)

となります。これは、またしても私が以前に導き出した近似式になってしまいます（「リー・ロントンの近似式を根拠づける試み（２）」の式(8)参照）。しかし、この近似式は精度がリー・ロントンの近似式より悪かったのでした。どこに考え落としがあったのでしょう？

気になるのは装置の利用率です。Ｍ／Ｄ／１の場合は $u$ の確率で装置は処理中になり、あとから来たジョブは待たなければならなくなりますが、Ｍ／Ｄ／２の場合はあとから来たジョブが待たなければならなくなる状況、すなわち装置が２台とも空いていない状況は $u$ の確率よりも低いはずです。このことを考慮する必要があります。