閉鎖型ネットワーク内のステーションからの出発過程（２）

図２

そこで、 $P(n,0;t)$ と $P(n-m,m;t)$ の時間の経過による変化を求めていきます。まず状態 $(n,0)$ では、装置２にはジョブがありませんので、装置２からのジョブの出発はありません。状態 $(n,0)$ では、装置１は必ず処理中ですから、 $dt$ の間に

$\frac{1}{t_{e1}}dt$

の確率で装置１で処理が完了してジョブが装置２にやってくることになり、 $(n-1,1)$ の状態に遷移します。状態 $(n-1,1)$ は図２では $(n-m,m)$ の一部になります。状態 $(n-1,1)$ を他の状態 $(n-m,m)$ と区別しない理由は、装置２にジョブが１つ以上あれば、それがいくつであっても、 $dt$ の間に装置２からジョブが出発する確率は

$\frac{1}{t_{e1}}dt$

になるからです。ここから

$\frac{dP(n,0;t)}{dt}=-\frac{1}{t_{e1}}P(n,0;t)$ ・・・・・（５）

が成り立ちます。次に、（５）と同じように考えて $dt$ の間に状態 $(n,0)$ から遷移することによる $P(n-m,m;t)$ の増加は

$\frac{1}{t_{e1}}P(n,0;t)$

であり、装置２からジョブが出発することによる減少は

$\frac{1}{t_{e1}}P(n-m,m;t)$

です。よって

$\frac{dP(n-m,m;t)}{dt}=-\frac{1}{t_{e1}}P(n-m,m:t)+\frac{1}{t_{e1}}P(n,0;t)$ ・・・・・（６）

が成り立ちます。式（５）と（６）を解くことにより $P(n,0;t)$ と $P(n-m,m;t)$ を求めます。まず（５）から

$P(n,0;t)=P(n,0;0)\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)$ ・・・・・（７）

です。これを式（６）に代入すると

$\frac{dP(n-m,m;t)}{dt}=-\frac{1}{t_{e1}}P(n-m,m:t)+P(n,0;0)\frac{1}{t_{e1}}\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)$ ・・・・・（８）

となります。ここで

$P(n-m,m;t)=f(t)\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)$ ・・・・・（９）

と置いて式（８）に代入してみます。（８）の左辺は

$\frac{dP(n-m,m;t)}{dt}=\frac{f(t)}{dt}\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)-\frac{1}{t_{e1}}f(t)\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)$ ・・・・・（１０）

（８）の右辺は

- $=-\frac{1}{t_{e1}}f(t)\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)+P(n,0;0)\frac{1}{t_{e1}}\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)$ ・・・・・（１１）

よって（１０）と（１１）から

$\frac{f(t)}{dt}\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)-\frac{1}{t_{e1}}f(t)\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)=-\frac{1}{t_{e1}}f(t)\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)+P(n,0;0)\frac{1}{t_{e1}}\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)$
$\frac{f(t)}{dt}\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)=P(n,0;0)\frac{1}{t_{e1}}\exp\left(-\frac{t}{t_{e1}}\right)$
$\frac{f(t)}{dt}=P(n,0;0)\frac{1}{t_{e1}}$
・・・・・（１２）
- ただし $C$ は積分定数