昔の痛い思い出が教える・・・・（１） - 工場統計力学（建設中！）

ところで「今ならChaothonさんの質問に答えられると思う。（２）」や「Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（２）」で提示したＭ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態確率 $p(k)$ の近似式

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(1)
- ただし、 $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi(M/M/s)$ ・・・・(3)
- ただし
  - $b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(4)
  - $\Pi(M/M/s)=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)

は、どうせ近似式であるので $\Pi_{M/M/s}$ についても近似式で済ませたほうが計算が楽になるのではないか、という考えもあります。つまり「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち確率Πの近似」の式(10)で提示した（ここでは番号を振り直して(6)とします）

$\Pi(M/M/s){\approx}u^{\sqrt{2(s+1)}-1}$ ・・・・(6)

を式(5)の代わりに用いるというものです。私は一旦、そのように考えました。しかし、そうすると式(2)の $p(0)$ も式(2)ではなくもっと簡単な式で近似しないと釣り合いが取れません。式(2)と(5)から

$p(0)=\frac{\Pi(M/M/s)}{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(7)

式(7)と式(5)から

$p(0){\approx}\frac{s!(1-u)u^{\sqrt{2(s+1)}-1}}{(su)^s}$ ・・・・(8)

式(8)を式(1)に代入し、また、式(6)を式(3)に代入して

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{s!(1-u)u^{\sqrt{2(s+1)}-1}}{k!(su)^{s-k}}$ ・・・・(9)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)u^{\sqrt{2(s+1)}-1}$ ・・・・(10)
- ただし
  - $b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(4)

を $p(k)$ の近似式として提案するのはどうでしょうか？　このほうが、冒頭に示した近似式よりずっとすっきりしています。この近似式は使い物になるでしょうか？　２００７年（４年前）に書いた「撤回：２月４日のp0の近似式」は、このような近似が危ないことを告げているようにも思えます。上記の近似が大丈夫かどうか、検討してみましょう。私にはエントリー「逆瀬川の近似式からＭ／Ｍ／ｍ待ち行列の状態確率分布を近似する。」が痛い思い出になって残っているのです。