到着時刻状態分布 - 工場統計力学（建設中！）

「定常状態分布」では、任意のジョブ到着間隔分布と、任意の処理時間分布を持つ待ち行列について、この待ち行列のシステムにジョブが $k$ 個存在する、時間平均での確率 $p(k)$ の近似式を紹介しました。今度は、ジョブが到着した時に、この待ち行列システムにジョブが $k$ 個存在する（到着したジョブは数に含めない）確率 $\pi(k)$ を考えます。しかし残念ながら、任意のジョブ到着間隔分布と、任意の処理時間分布を持つ待ち行列について $\pi(k)$ の近似式を求めることは出来ませんでした。そこで「ジョブ到着時に、全ての装置がふさがっている確率」と同じように到着間隔分布が指数分布である場合と、処理時間分布が指数分布である場合について近似式を示します。

もし到着間隔分布が指数分布であるならば、すなわちＭ／Ｇ／ｓ待ち行列であれば、PASTAを使用することが出来て

$\pi(k)=p(k)$ ・・・・(32)

をいうことが出来ます。この式と「定常状態分布」の式(4)(5)

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(4)
の場合
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(5)
ただし
- $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(6)
- $b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2-(2-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$ ・・・・(7)

を用いれば

[tex:k
- $\pi(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(33)
の場合
- $\pi(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(34)

もし処理時間分布が指数分布であるならば、すなわちＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列であれば、

の場合
- $\pi(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(35)
の場合
- $\pi(s-1)\approx\frac{1-b}{u}\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(36)
の場合
- $\pi(k){\approx}\frac{b^{k+1-s}(1-b)}{u}\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(37)

となります。

ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）」参照