ブラウン運動――１．ランダムウォーク - 工場統計力学（建設中！）

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これからブラウン運動の数学的モデルについて説明します。

１．ランダムウォーク
ブラウン運動はランダムウォークの極限として得られます。そこで最初はランダムウォークの簡単な説明から致します。

ランダムウォークは１回ごとに次にどちらに進むのかを確率的に決めるような過程です。ここでは一般的なランダムウォークではなく、特殊な１つの例について説明します。
ある人がＸ軸上を動くものとします。時刻０にはＸ軸の原点にその人はいるとします。ここで１回、コインを投げて、裏か表かでどちらに移動するかを決めます。表ならば＋１、裏ならば−１、だけＸ軸上を動くとします。つまりそれぞれ１／２の確率で＋１または−１だけ移動するとします。動き終わったら、またコインを投げて同じように動く方向を決めます。これを繰り返していくと、この人は不規則に動くことになります。コインを $k$ 回目に投げた結果その人が動き終って今いる位置（Ｘ座標）を $x$ で表し、 $k$ を横軸、 $x$ を縦軸にとったものが、ランダムウォークのグラフになります。たとえばそれは下図のようなグラフになります。

図１

コインを１回投げた結果どれだけ動くか（つまり＋１か−１か）を示す確率変数を $X$ で表すことにします。 $X$ の平均 $E[X]$ と分散 $\rm{Var}[x]$ を考えてみます。まず明らかに

$E[X]=0$ ・・・・(1)

です。分散は

$\rm{Var}[X]=\frac{1}{2}\times\left[(1-0)^2+(-1-0)^2\right]$

よって

$\rm{Var}[X]=1$ ・・・・(2)

です。次に、 $k$ 回目の移動後の位置を $X(k)$ で表すことにします。 $X(k)$ も確率変数になります。 $X(k)$ の平均 $E[X(k)]$ と分散 $\rm{Var}[X(k)]$ を考えて見ます。 $X(k)$ は $X$ を $k$ 回足したものと考えられますから、独立で同一確率分布に従う確率変数の和の平均と分散の公式により

$E[X(k)]=kE[x]=k\times{0}=0$

よって

$E[X(k)]=0$ ・・・・(3)

また

$\rm{Var}[X(k)]=k\rm{Var}[X]=k\times{1}-k$

よって

$\rm{Var}[X(k)]$ ・・・・(4)

となります。式(4)から $X(k)$ の標準偏差 $\rm{STD}[X(k)]$ は

$\rm{STD}[X(k)]=\sqrt{k}$ ・・・・(5)

となります。つまり、 $k$ が増えるにつれて標準偏差はどんどん大きくなります。

$X(k)$ の値が $x$ である確率を $f(x,k)$ で表すことにします。今、 $X(k+1)=x$ であったとします。これは $k$ の時に $X(k)=x-1$ で１／２の確率で＋１進んだ場合と、 $k$ の時に $X(k)=x+1$ で１／２の確率で−１進んだ場合、の両方の場合の結果として考えられます。よって