工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｇ／１／４待ち行列（３）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｇ／１／４待ち行列（２）」で求めた定常状態確率分布の式

$p(0)=\frac{A(0)^3}{[1-2A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)]u+A(0)^3}$ ・・・・(17)
$p(1)=\frac{[1-A(0)]A(0)^2}{[1-2A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)]u+A(0)^3}$ ・・・・(20)
$p(2)=\frac{[1-A(0)-A(1)]A(0)}{[1-2A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)]u+A(0)^3}$ ・・・・(21)
$p(3)=\frac{1-A(0)-2A(1)+A(0)A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)}{[1-2A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)]u+A(0)^3}$ ・・・・(22)
$p(4)=\frac{A(0)^3-[1-2A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)](1-u)}{[1-2A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)]u+A(0)^3}$ ・・・・(19)
ただし
- $A(k)=\Bigint_0^{\infty}\frac{t^k}{t_a^kk!}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)g(t)dt$ ・・・・(23)

が正しい式であるかどうかを確認するために、Ｍ／Ｍ／１／４の場合をこの式に適用して結果を見てみます。Ｍ／Ｍ／１／４の場合、「Ｍ／Ｇ／１／ｎ待ち行列の定常状態確率の近似（１）」の式(1)（ここでは数字を振り直して式(24)とします）

$p(k+1)=up(k)$ ・・・・(24)

が成り立つので、

$p(1)=up(0)$ ・・・・(25)
$p(2)=u^2p(0)$ ・・・・(26)
$p(3)=u^3p(0)$ ・・・・(27)
$p(4)=u^4p(0)$ ・・・・(28)

となります。また

$p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1$ ・・・・(29)

です。式(29)に(25)(26)(27)(28)を代入して

$(1+u+u^2+u^3+u^4)p(0)=1$

よって

$p(0)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(30)

式(30)を(25)(26)(27)(28)にそれぞれ代入して

$p(1)=\frac{u}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(31)
$p(2)=\frac{u^2}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(32)
$p(3)=\frac{u^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(33)
$p(4)=\frac{u^4}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(34)

となります。これでＭ／Ｍ／１／４の定常状態確率が求められたわけですが、式(17)(20)(21)(22)(19)(23)から同じ結果が得られるか、これから調べてみます。

まず、 $A(0)$ 、 $A(1)$ 、 $A(2)$ を計算します。Ｍ／Ｍ／１／４ではサービス時間分布が指数分布ですから、サービス時間の平均を $t_e$ とすると

$g(t)=\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)$ ・・・・(35)

となります。これを式(23)に代入すると

$A(k)=\Bigint_0^{\infty}\frac{t^k}{t_a^kk!}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)dt$
$A(k)=\frac{1}{t_e}\Bigint_0^{\infty}\frac{t^k}{t_a^kk!}\exp\left(-\left[\frac{1}{t_a}+\frac{1}{t_e}\right]t\right)dt$
$A(k)=\frac{1}{t_e}\Bigint_0^{\infty}\frac{t^k}{t_a^kk!}\exp\left(-\left[\frac{t_e}{t_a}+1\right]\frac{t}{t_e}\right)dt$

ここで

$\frac{t_e}{t_a}=u$

なので

$A(k)=\frac{1}{t_e}\Bigint_0^{\infty}\frac{t^k}{t_a^kk!}\exp\left(-\frac{u+1}{t_e}t\right)dt$ ・・・・(36)

ここで「アーラン分布」の式(4)（ここでは数字を振り直して式(37)とします）

$\Bigint_0^{\infty}t^k\exp(-\lambda{t})dt=\frac{k!}{\lambda^{k+1}}$ ・・・・(37)

を用いると

$\Bigint_0^{\infty}t^k\exp\left(-\frac{u+1}{t_e}t\right)dt=k!\frac{t_e^{k+1}}{(u+1)^{k+1}}$ ・・・・(38)

よって式(36)は

$A(k)=\frac{1}{t_e}\times\frac{1}{t_a^kk!}\times{k!}\frac{t_e^{k+1}}{(u+1)^{k+1}}$
$A(k)=\frac{1}{t_a^k}\times\frac{t_e^k}{(u+1)^{k+1}}$

よって

$A(k)=\frac{u^k}{(u+1)^{k+1}}$ ・・・・(39)

となります。ここから

$A(0)=\frac{1}{u+1}$ ・・・・(40)
$A(1)=\frac{u}{(u+1)^2}$ ・・・・(41)
$A(2)=\frac{u^2}{(u+1)^3}$ ・・・・(42)

となります。式(40)(41)(42)から

- $=1-\frac{2u}{(1+u)^2}=\frac{1+u^2}{(1+u)^2}$

よって

$[1-2A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)]u+A(0)^3=\frac{u+u^3}{(u+1)^2}+\frac{1}{(u+1)^3}$

よって

$[1-2A(1)+A(1)^2-A(0)A(2)]u+A(0)^3=\frac{1+u+u^2+u^3+u^4}{(u+1)^3}$ ・・・・(43)

式(43)(40)を(17)に代入して

$p(0)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(44)

これは式(30)と同じです。さらに式(43)(40)を(20)に代入して

$\frac{(1+u)^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}\left(1-\frac{1}{1+u}\right)\left(\frac{1}{1+u}\right)^2$
$p(1)=\frac{(1+u)^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}\left(\frac{u}{1+u}\right)\left(\frac{1}{1+u}\right)^2$

よって

$p(1)=\frac{u}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(45)

これは式(31)と同じです。次に式(43)(40)(41)を(21)に代入して

$p(2)=\frac{(1+u)^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times\left[1-\frac{1}{1+u}-\frac{u}{1+u}^2]\right]\frac{1}{1+u}$
$p(2)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times[(1+u)^2-(1+u)-u]$

よって

$p(2)=\frac{u^2}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(46)

これは式(32)と同じです。次に式(43)(40)(41)(42)を(22)に代入して

$p(3)=\frac{(1+u)^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times\left[1-\frac{1}{1+u}-\frac{2u}{(1+u)^2}+\frac{u}{(1+u)^3}+\frac{u^3}{(1+u)^4}-\frac{u^3}{(1+u)^4}\right]$
$p(3)=\frac{(1+u)^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times\left[1-\frac{1}{1+u}-\frac{2u}{(1+u)^2}+\frac{u}{(1+u)^3}\right]$
$p(3)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times[(1+u)^3-(1+u)^2-2u(1+u)+u]$
$p(3)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times[1+3u+3u^2+u^3-1-2u-u^2-2u-2u^3+u]$

よって

$p(3)=\frac{u^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(47)

これは式(33)と同じです。最後に式(43)(40)(41)(42)を(19)に代入して

$p(4)=\frac{(1+u)^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times\left[\frac{1}{(1+u)^3}-\left(1-\frac{2u}{(1+u)^2}+\frac{u^2}{(1+u)^4}-\frac{u^2}{(1+u)^4}\right)(1-u)\right]$
$p(4)=\frac{(1+u)^3}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times\left[\frac{1}{(1+u)^3}-\left(1-\frac{2u}{(1+u)^2}\right)(1-u)\right]$
$p(4)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times[1-\{(1+u)^3-2u(1+u)\}(1-u)]$
$p(4)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times[1-(1+3u+3u^2+u^3-2u-2u^2)(1-u)]$
$p(4)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times[1-(1+u+u^2+u^3)(1-u)]$
$p(4)=\frac{1}{1+u+u^2+u^3+u^4}\times[1-(1-u^4)]$

よって

$p(4)=\frac{u^4}{1+u+u^2+u^3+u^4}$ ・・・・(48)

これは式(34)と同じです。以上、全ての状態の確率が一致したので式(17)(20)(21)(22)(19)(23)の正しさが確認出来ました。