ＰＡＳＴＡ（１）
ＰＡＳＴＡというのは、Poisson Arrival See Time Averageの略で、「ポアソン分布の到着は時間平均を見ることになるだろう」ということを主張する定理です。これの意味するところについては「時間平均と到着時平均」で述べた例を元に説明していきたいと思います。「時間平均と到着時平均」で述べた例
は、一定間隔でのジョブ到着でしたから、ポアソン分布の到着ではありません。よってＰＡＳＴＡの前提が成り立ちませんので、ＷＩＰの時間平均と到着時平均が異なってもＰＡＳＴＡの真偽には関係がありません。さて、「時間平均と到着時平均」で述べた例ではなぜ、ＷＩＰの時間平均と到着時平均が異なったのでしょうか？ それは、いつもジョブ到着が、前のジョブの処理完了後に起きていたためです。そのために、到着するジョブはいつも空になったシステムを見ることになったわけです。ですから、到着するジョブはシステムのとり得る状態を公平に見ているわけではなく、ちょうどシステムが空になった状態だけを見ているということです。これは考えてみれば不公平なことです。
これとは対照的にポアソン分布の到着では、ジョブがいつ到着するかはまったくデタラメですから、結果としては、到着時のジョブはシステムのとり得る状態を公平に見ることになります。よって、ＷＩＰの到着時の平均と時間平均が（平均を取る時間を無限大にすれば）一致することになります。これが、私の理解する限りでのＰＡＳＴＡの直感的な理解です。
この時に、到着するジョブをＷＩＰに含めるべきか含めないべきか、という問題（「現実的なワーストケースの式への疑問（３）」で提出した問題）への解はまだ出ていません。ＰＡＳＴＡをなるべく厳密に証明することによって、この疑問を解きたいと思います。
話を戻して、先ほどの例でジョブの到着間隔を変動させた時の時間平均と到着時平均の実例を作ってみたいと思います。下のグラフのようにＷＩＰが変動する例を作ってみました。
どの時点でジョブが到着したかは、ＷＩＰが１増える時点を探せば分かります。まず、このグラフからＷＩＰの時間平均を計算してみましょう。
上の表のように計算を行いました。その結果は、時間平均＝０．９７個、です。次にＷＩＰの到着時平均を計算します。
上の表のように計算を行いました。その結果、到着時のジョブをＷＩＰに含めないならば、平均０．５個、含めるならば、平均１．５個、という結果になりました。残念ながら、この場合も時間平均と到着時平均は一致しませんでした。それはそうと、この例が、時間平均と到着時平均の意味の違いを理解する助けになるとよいのですが・・・・。
「ＰＡＳＴＡ（２）」に続きます。
