工場統計力学（建設中！）

QNA読解：4.2 トラフィック変動方程式（２）

待ち行列ネットワークへの助走

上位エントリー：Word Whitt: The Queueing Network Analyzerの構成

「QNA読解：4.7　総合」の続きです。ここまでくれば「QNA読解：4.2 トラフィック変動方程式（１）」に登場した一連の式を導出出来ます。要するに「QNA読解：4.7　総合」に登場した式(43)

- $=1-w_j+w_j\left[p_{0j}c_{0j}^2+\Bigsum_{i=1}^np_{ij}(v_{ij}[q_{ij}\gamma_ic_{ai}^2+(1-q_{ij})]$
- $+(1-v_{ij})\{\gamma_iq_{ij}[1+(1-\rho_i^2)(c_{ai}^2-1)$
- $+\left+\rho_i^2m_i^{-0.5}(\max\{c_{si}^2, 0.2\}-1)]+1-q_{ij}\})\right]$ ・・・・(43)

を

$c_{aj}^2=a_j+\Bigsum_{i=1}^nc_{ai}^2b_{ij}$ ・・・・(24)

の形に変形すればよいのです。

$c_{aj}^2=$
- $+\left+\rho_i^2m_i^{-0.5}(\max\{c_{si}^2, 0.2\}-1)]+1-q_{ij}\})\right]$
- $+w_j\Bigsum_{i=1}^np_{ij}(v_{ij}q_{ij}\gamma_i+(1-v_{ij})\gamma_iq_{ij}(1-\rho_i^2))c_{ai}^2$
- $+\left+\left+\rho_i^2m_i^{-0.5}(\max\{c_{si}^2, 0.2\}-1)]+1-q_{ij}\}\right)\right]$
- $+\Bigsum_{i=1}^nw_jp_{ij}q_{ij}\gamma_i[v_{ij}+(1-v_{ij})(1-\rho_i^2)]c_{ai}^2$
- $+\left+\left+m_i^{-0.5}(\max\{c_{si}^2, 0.2\}-1)]+1-q_{ij}\}\right)\right]$
- $+\Bigsum_{i=1}^nw_jp_{ij}q_{ij}\gamma_i[v_{ij}+(1-v_{ij})(1-\rho_i^2)]c_{ai}^2$

ここで

$x_i=1+m_i^{-0.5}(max\{c_{si}^2, 0.2\}-1)$ ・・・・(27)
$b_{ij}=w_jp_{ij}q_{ij}\gamma_i[v_{ij}+(1-v_{ij})(1-\rho_i^2)]$ ・・・・(26)

とおけば

- $+\Bigsum_{i=1}^nb_{ij}c_{ai}^2$
$=1+w_j\left\{(p_{0j}c_{0j}^2-1)+\Bigsum_{i=1}^np_{ij}\left[(1-q_{ij})+(1-v_{ij})\gamma_iq_{ij}\rho_i^2x_i\right]\right\}+\Bigsum_{i=1}^nb_{ij}c_{ai}^2$

ここで

$a_j=1+w_j\left\{(p_{0j}c_{0j}^2-1)+\Bigsum_{i=1}^np_{ij}\left[(1-q_{ij})+(1-v_{ij})\gamma_iq_{ij}\rho_i^2x_i\right]\right\}$ ・・・・(25)

とおけば

$c_{aj}^2=a_j+\Bigsum_{i=1}^nc_{ai}^2b_{ij}$ ・・・・(24)

となります。つまり、

$c_{aj}^2=a_j+\Bigsum_{i=1}^nc_{ai}^2b_{ij}$ ・・・・(24)

で

- $a_j=1+w_j\left\{(p_{0j}c_{0j}^2-1)+\Bigsum_{i=1}^np_{ij}[(1-q_{ij})+(1-v_{ij})\gamma_iq_{ij}\rho_i^2x_i]\right\}$ ・・・・(25)
- $b_{ij}=w_jp_{ij}q_{ij}\gamma_i[v_{ij}+(1-v_{ij})(1-\rho_i^2)]$ ・・・・(26)

さらに

- - $x_i=1+m_i^{-0.5}(max\{c_{si}^2, 0.2\}-1)$ ・・・・(27)
  - $w_j=[1+4(1-\rho_j)^2(v_j-1)]^{-1}$ ・・・・(29)

さらに

- - - $v_j=\left[\Bigsum_{i=0}^np_{ij}^2\right]^{-1}$ ・・・・(30)

です。なお、

$v_{ij}$

については、「QNA読解：4.5 出発（２）」で述べたように、適切な式が見つからないため、現在のQNAでは

$v_{ij}=0$ ・・・・(28)

としています。そうすると式(25)(26)は若干、簡単になることになります。

$a_j=1+w_j\left\{(p_{0j}c_{0j}^2-1)+\Bigsum_{i=1}^np_{ij}[(1-q_{ij})+\gamma_iq_{ij}\rho_i^2x_i]\right\}$ ・・・・（カ）
$b_{ij}=w_jp_{ij}q_{ij}\gamma_i(1-\rho_i^2)$ ・・・・（キ）

さらに

$\gamma_1=1$

とすれば

$a_j=1+w_j\left\{(p_{0j}c_{0j}^2-1)+\Bigsum_{i=1}^np_{ij}[(1-q_{ij})+q_{ij}\rho_i^2x_i]\right\}$ ・・・・（ク）
$b_{ij}=w_jp_{ij}q_{ij}(1-\rho_i^2)$ ・・・・（ケ）

となります。