工場統計力学（建設中！）

ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（２）

待ち行列理論

「到着時刻状態分布」を見ながら、そして「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて」での失敗を何とか救えないかと考えていて、実はＤ／Ｄ／１の場合、 $b=0$ ではなかったのか、と思い始めました。 $b=0$ ならば「ジョブ到着時に、全ての装置がふさがっている確率」の式(26)

$\Pi\approx\frac{b}{u}\cdot\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(26)

がＤ／Ｄ／１の時にも使用できるとしたら、期待通り

$\Pi=0$

となります。 $u=1$ の時に $\Pi=1$ であるはずなのに式(26)からはそれが導出されないのではないか、という疑問は生れますが、 $u=1$ の時に本当に $\Pi=1$ と考えてよいかは微妙なところです。というのは、 $u=1$ の場合、ジョブは到着した時点で同時に、１つ前のジョブが装置から出て行くので、ジョブが到着した時にシステム内の装置が全て（この場合は１台だけですが）ふさがってはいない、と言えないこともないからです。であれば式(26)は（近似的にでしかないのですが）正しくて、間違っていたのは $b$ を求める式(27)

$b=\frac{(2c_a^2+[1-c_a^2]u)u}{2-(2-\{2c_a^2+[1-c_a^2]u\})u}$ ・・・・(27)

である、とも考えることが出来そうだからです。

では式(27)の代わりにどのような式を構成すればよいのでしょうか？　まだ私には分かりません。その前に「到着時刻状態分布」の

の場合
- $\pi(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(35)
の場合
- $\pi(s-1)\approx\frac{1-b}{u}\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(36)
の場合
- $\pi(k){\approx}\frac{b^{k+1-s}(1-b)}{u}\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(37)

がＤ／Ｄ／１の時、そして $b=0$ とした場合、どのようになるかを考えてみます。装置は１台だけなので $s=1$ になります。よって、式(35)(36)(37)は以下のようになります。

の場合
- $\pi(0)\approx\frac{1-0}{u}\frac{u^1}{1!(1-u)}p(0)$ ・・・・(38)
の場合
- $\pi(k){\approx}\frac{0^k(1-0)}{u}\frac{u^1}{1!(1-u)}p(0)$ ・・・・(39)

となります。ここで $0^0=1$ と考えれば

の場合
- $\pi(0)\approx\frac{1}{1-u}p(0)$ ・・・・(40)
の場合
- $\pi(k)\approx\frac{0}{1-u}p(0)$ ・・・・(41)

さらに $s=1$ の時、式(6)

- $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(6)

は

$p(0)=\frac{1}{\frac{0^0}{0!}+\frac{u}{1-u}}=\frac{1-u}{1-u+u}=1-u$

なので式(40)(41)は結局

の場合
- $\pi(0)\approx{1}$ ・・・・(42)
の場合
- $\pi(k){\approx}0$ ・・・・(43)

となり、Ｄ／Ｄ／１の $\pi(k)$ の値として妥当な値を示しています。

さらに「定常状態分布」の式(4)(5)

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(4)
の場合
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(5)

も、Ｄ／Ｄ／１では

の場合
- $p(0)\approx\frac{u^0}{1!}p(0)=1-u$
の場合
- $p(k){\approx}0^{k-1}(1-0)\frac{u^1}{1!(1-u)}(1-u)=0^{k-1}u$

つまり

の場合
- $p(0)\approx{1}-u$ ・・・・(44)
の場合
- $p(k){\approx}{0}^{k-1}u$ ・・・・(45)

となり、さらに式(45)は $k=1$ の場合と $k>1$ の場合に分けて考えれば

の場合
- $p(0)\approx{1}-u$ ・・・・(44)
の場合
- $p(1){\approx}u$ ・・・・(46)
の場合
- $p(k){\approx}{0}$ ・・・・(47)

となり、これもまたＤ／Ｄ／１の $p(k)$ の値として妥当な値を示しています。