工場統計力学（建設中！）

ＧＩ／Ｇ／ｓの到着時刻状態分布を求めて（２）

待ち行列理論

「ＧＩ／Ｇ／ｓの到着時刻状態分布を求めて（１）」で求めた到着状態分布の近似式

の場合
- $\pi(k)\approx\frac{2-(1-c_e^2)u}{1+c_e^2}\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(81)
の場合
- $\pi(k)\approx\frac{2-(1-c_e^2)u}{(1+c_e^2)u}b^{k-s+1}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(77)

が

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)=1$ ・・・・(83)

を満たすかどうか調べてみます。そのために、式(77)の代わりに「ＧＩ／Ｇ／ｓの到着時刻状態分布を求めて（１）」の式(64)

の場合
- $\pi(k)=\frac{\alpha}{u}p(k+1)$ ・・・・(64)

を用いることにします。また、式(81)の代わりに式(80)

の場合
- $\pi(k)\approx\alpha\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(80)

に「定常状態分布」の式(4)

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(4)

を代入した

の場合
- $\pi(k)\approx\alpha{p(k)}$ ・・・・(84)

を用いることにします。すると

- $=\alpha\Bigsum_{k=0}^{s-2}p(k)+\alpha{u}\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)$

よって

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)\approx\alpha\Bigsum_{k=0}^{s-2}p(k)+\frac{\alpha}{u}\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)$ ・・・・(85)

ここで、

$\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)=\Omega$ ・・・・(86)

と置くと

$\Bigsum_{k=0}^{k=s-1}p(k)=1-\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)$

なので

$\Bigsum_{k=0}^{k=s-1}p(k)=1-\Omega$

よって

$\Bigsum_{k=0}^{k=s-2}p(k)=1-\Omega-p(s-1)$ ・・・・(87)

式(86)(87)を式(85)に代入すると

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)\approx\alpha[1-\Omega-p(s-1)]+\frac{\alpha}{u}\Omega$

よって

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)\approx\alpha\left[1+\frac{1-u}{u}\Omega-p(s-1)\right]$ ・・・・(88)

ところで式(4)を用いれば

$p(s-1)\approx\frac{(su)^{s-1}}{(s-1)!}p(0)$ ・・・・(89)

ですが、一方「時間平均で装置が全てふさがっている確率」の式(20)

$\Omega{\approx}\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(20)

を考慮すると

$p(s-1)\approx\frac{s(1-u)}{su}\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$

よって

$p(s-1)\approx\frac{1-u}{u}\Omega$ ・・・・(90)

となります。これを式(88)に代入すると

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)\approx\alpha$ ・・・・(91)

となります。よって $\alpha=1$ 以外の場合は

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)=1$ ・・・・(83)

が成り立たないことになってしまいます。これは困りました。今までの考察からすれば、一般のＧＩ／Ｇ／ｓの場合、「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（６）」の式(73)

$\alpha\approx\frac{2-(1-c_e^2)u}{1+c_e^2}$ ・・・・(73)

から分かるように $\alpha=1$ とは限らないからです。
私はどこで間違えたのでしょうか？