「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（６）

では『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（５）』の最後で得たグラフ

に私の近似式

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(1+c_e^2)-(1-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u-1])u}$ ・・・・(8)

で計算した結果と、Wolfgang Kraemer氏とManfred Lagenbach-Belz氏の近似式

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(11)
ただし
- $h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{4u}{c_a^2+u^2(4c_a^2+c_e^2)}$ 　（ $c_a^2{\le}1$ ）・・・・(12-2)

で計算した結果を加えてみましょう。すると下のグラフのようになります。

これを見るとどうも私の近似式(8)のほうが精度が悪そうです。では今度は同じH2／Ｍ／１であっても $c_a^2=3$ になる場合の $b$ の値を求め、同じく式(8)(11)で計算した結果と比較してみましょう。
『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（４）』の式(31)

$p=\frac{1}{2}\left[1+\sqrt{\frac{c_a^2-1}{c_a^2+1}}\right]$ ・・・・(31)

に $c_a^2=3$ を代入すると

$p=\frac{1}{2}\left[1+\sqrt{\frac{2}{4}}\right]=\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$

よって

$p=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$ ・・・・(43)

となります。これを『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（５）』の式(41)

$b=2u\left[\frac{p^2}{1+2pu-b}+\frac{(1-p)^2}{1+2(1-p)u-b}\right]$ ・・・・(41)

に代入すれば

$b=2u\left[\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}{1+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)u-b}+\frac{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}{1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)u-b}\right]$

よって

$b=2u\left[\frac{\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)u-b}+\frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)u-b}\right]$
$b=\frac{u}{2}\left[\frac{\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)u-b}+\frac{\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)u-b}\right]$ ・・・・(44)

となります。これから $c_a^2=2$ の時と同じようにExcelを使って $b$ の値を小数第３位まで求め、それと式(8)、式(11)で計算した結果とをグラフに描いてみると以下のようになります。

明らかに私の近似式(8)のほうが精度が悪そうです。ということはWolfgang Kraemer氏とManfred Lagenbach-Belz氏の近似式を尊重しなければならないことになります。さてこうなると、今までの私の考察のかなりの範囲を見直さなければならなくなります。これは大仕事になりそうです。