確率密度関数のラプラス変換

待ち行列理論

確率密度関数をラプラス変換するといろいろ便利なことがあります。以下の説明で確率変数Xの確率密度関数をf(x)とし、Xは負の値を取らないとします。つまりx<0の時f(x)=0。次にf(x)のラプラス変換をF^*(s)で表します。つまり

  • F^*(s)=\Bigint_0^{\infty}f(x)\exp(-sx)dx・・・・(1)

です。また、F^*(s)をsについてn回微分した関数をF^{*(n)}(s)で表すことにします。つまり

  • F^{*(n)}(s)=\frac{dF^*(s)}{d^ns}・・・・(2)

です。

n乗平均

確率変数Xをn乗したものの平均E(X^n)は、以下のようになります。

  • E(X^n)=(-1)^nF^{*(n)}(0)・・・・(3)

これを証明します。式(1)の両辺をsで微分すると

  • F^{*(0)}(s)=(-1)\Bigint_0^{\infty}xf(x)\exp(-sx)dx

になります。同様に考えて式(1)の両辺をn回sで微分すると

  • F^{*(n)}(s)=(-1)^n\Bigsum_0^{\infty}x^nf(x)\exp(-sx)dx・・・・(4)

となります。式4)でs=0とすると

  • F^{*(n)}(0)=(-1)^n\Bigint_0^{\infty}x^nf(x)dx=(-1)^nE(X^n)

となり、式(3)が証明されます。

２つの確率変数の和

もう一つ別の確率変数Yを考え、その確率密度関数をg(x)とします。x<0でg(x)=0とします。また、g(x)のラプラス変換をG^*(s)で表します。Z=X+Yという確率変数を考え、その確率密度関数をh(x)とします。そしてh(x)のラプラス変換をH^*(s)とします。すると

  • H^*(s)=F^*(s)G^*(s)・・・・(5)

となります。
では、これを証明します。まずZ=X+Yですから

  • h(x)=\Bigint_0^xf(y)g(x-y)dy・・・・(6)

となります。よって

  • H^*(s)=\Bigint_0^{\infty}h(x)\exp(-sx)dx=\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^xf(y)g(x-y)\exp(-sx)dydx

よって

  • H^*(s)=\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^xf(y)\exp(-sy)g(x-y)\exp(-s(x-y))dydx・・・・(7)

ここで

  • u=x-y・・・・(8)

と置き、積分の変数を(x,y)から(u,y)に置き換えます。すると

  • \left(\begin{array}u\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}1&-1\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}x\\y\end{array}\right)

なのでヤコビアンJは

  • J=\left|\begin{array}1&-1\\0&1\end{array}\right|=1

なので

  • dxdy=dudy

になります。また、uとyの変域は共に0から\inftyまでになります。よって式(7)は

  • H^*(s)=\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}f(y)\exp(-sy)g(u)\exp(-su)dydu
  • H^*(s)=\Bigint_0^{\infty}f(y)\exp(-sy)dy\Bigint_0^{\infty}g(u)\exp(-su)du
  • H^*(s)=F^*(s)G^*(s)

よって式(5)が証明されました。

F^*(0)=1

確率密度関数のラプラス変換にs=0を代入すると必ず1になります。これは

  • F^*(0)=\Bigint_0^{\infty}f(x)\exp(-0x)dx=\Bigint_0^{\infty}f(x)dx=1

となり

  • F^*(0)=1・・・・(9)

となります。